Апериодический процесс

х = zе^–t = А_оe^-tcos (t + ) = Аcos (t + ) - уравнение затухающих колебаний, где А = A_оe^-t - амплитуда затухающих колебаний, убывающая со временем по экспоненциальному закону. Коэффициент затухания  определяет скорость убывания амплитуды, быстроту перевода механической энергии колебаний во внутреннюю, тепловую энергию.

Помимо убывания амплитуды колебаний, сопротивление среды приводит к понижению циклической частоты  затухающих колебаний  = (_о² – ²) в сравнении с частотой _о свободных колебаний. Это можно объяснить тем, что сила сопротивления направлена против скорости (перемещения) груза и замедляет его движение, увеличивая дли­тельность цикла (период), уменьшая частоту .

П

ри достаточно большом затухании (удельном сопротивлении  = r/2m)   _о колебательный характер процесса возвращения к положению равновесия системы, выведенной из него, исчезает, превращаясь в монотонно убывающий процесс, называемый апериодическим. В этом случае трение, диссипация преобладают над упругостью. Такой режим реализуется, например, для движения рамки электроизмерительных приборов.

№26 Дифференциальное уравнение вынужденых колебаний

Вынужденные колебания — колебания, происходящие под действием внешней силы, меняющейся во времени.

Автоколебания отличаются от вынужденных колебаний тем, что последние вызваны периодическим внешним воздействием и происходят с частотой этого воздействия, в то время как возникновение автоколебаний и их частота определяются внутренними свойствами самой автоколебательной системы.

Наиболее простой и содержательный пример вынужденных колебаний можно получить из рассмотрения гармонического осциллятора и вынуждающей силы, которая изменяется по закону:

Проведём физико-математический анализ собственных (затухающих) колебаний применительно к грузу на пружине. Используем силовой подход, основывающийся на втором законе Ньютона. Силу сопротивления зададим в виде: _cопр = - где r - коэффициент сопротивления вязкой среды.

Запишем второй закон Ньютона для груза массой m, колеблющегося в вязкой среде на пружине с жесткостью k:

= ; = _упр + _сопр = - – или для одномерного случая:

mx" = - kх – rх' =  х" + 2(r2m)х' + (km)х = 0  х" + 2х^ + _о²х = 0

Полученное дифференциальное уравнение затухающих колебаний (ДУЗК) отличается от дифференциального уравнения свободных гармонических колебаний (ДУСГК) наличием члена, содержащего первую производную х' от смещения х и отражающего собой действие силы сопротивления. Под  = r2m обозначен коэффициент затухания - от­ношение мер сопротивления и инертности. За _о = (k/m) обозначена частота свободных колебаний, т. е. в отсутствии сопротивления, при r = 0.

Для решения полученного дифференциального уравнения затухающих колеба­ний сведём его путём замены переменной х = zе^–t к уравнению свободныхг армонических колебаний. Выразим первую и вторую производные х и под­ставим их в ДУЗК:

х' = ddt(zе^–t) = z^е^-t - ze^-t; х" = z^e^{- t} + ²ze^-t – z^e^-t - z^e^-t = z^e^-t - 2z^e^-t + ²ze^-t;

(z^ - 2z^ + ²z + 2z^ - 2²z + _о²z)e^-t = 0  z^ + (_о² – ²)z = 0 или: z^ + ²z = 0, где ² = _о² - ².

В новой переменной z дифференциальное уравнение затухающих колебаний свелось к известному дифференциальному уравнению свободных гармонических колебаний (ДУСГК), решение которого имеет стандартный вид гармонической функции z = А_оcos(t + ).

Осуществляя обратный переход к исходной переменной х, получим:

х = zе^–t = А_оe^-tcos (t + ) = Аcos (t + ) - уравнение затухающих колебаний, где А = A_оe^-t - амплитуда затухающих колебаний, убывающая со временем по экспоненциальному закону. Коэффициент затухания  определяет скорость убывания амплитуды, быстроту перевода механической энергии колебаний во внутреннюю, тепловую энергию.

№27 Амплитуда вынужденных колебаний

Основные характеристики колебаний упругих систем с одной степенью свободы

№28 Механический резонанс

Наиболее известная большинству людей механическая резонансная система — это обычные качели. Если вы будете подталкивать качели в соответствии с их резонансной частотой, размах движения будет увеличиваться, в противном случае движения будут затухать. Резонансную частоту такого маятника с достаточной точностью в диапазоне малых смещений от равновесного состояния, можно найти по формуле:

где g это ускорение свободного падения (9,8 м/с² для поверхности Земли), а L — длина от точки подвешивания маятника до центра его масс. (Более точная формула довольно сложна, и включает эллиптический интеграл). Важно, что резонансная частота не зависит от массы маятника. Также важно, что раскачивать маятник нельзя на кратных частотах (высших гармониках), зато это можно делать на частотах, равных долям от основной (низших гармониках).

Резонансные явления могут вызвать необратимые разрушения в различных механических системах, например, неправильно спроектированных мостах. Так, в 1905 году рухнул Египетский мост в Санкт-Петербурге, когда по нему проходил конный эскадрон, а в 1940 — разрушился Такомский мост в США. Чтобы предотвратить такие повреждения существует правило, заставляющее строй солдат сбивать шаг при прохождении мостов.

В основе работы механических резонаторов лежит преобразование кинетической энергии в потенциальную и обратно. В случае простого маятника, вся его энергия содержится в потенциальной форме, когда он неподвижен и находится в верхних точках траектории, а при прохождении нижней точки на максимальной скорости, она преобразуется в кинетическую. Потенциальная энергия пропорциональна массе маятника и высоте подъёма относительно нижней точки, кинетическая — массе и квадрату скорости в точке измерения.

Другие механические системы могут использовать запас потенциальной энергии в различных формах. Например, пружина запасает энергию сжатия, которая, фактически, является энергией связи её атомов.

Резона́нс (фр. resonance, от лат. resono — откликаюсь) — явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний, которое наступает при приближении частоты внешнего воздействия к некоторым значениям (резонансным частотам), определяемым свойствами системы. Увеличение амплитуды - это лишь следствие резонанса, а причина - совпадение внешней (возбуждающей) частоты с внутренней (собственной) частотой колебательной системы. При помощи явления резонанса можно выделить и/или усилить даже весьма слабые периодические колебания. Резонанс — явление, заключающееся в том, что при некоторой частоте вынуждающей силы колебательная система оказывается особенно отзывчивой на действие этой силы.

№30. Уравнение бегущей волны. Хар-ки мех-х волн

Бегущими волнами называются волны, которые переносят в пространстве энергию. Перенос энергии волнами количественно характеризуется векторм плотности потока энергии. Уравнение бегущей волны : В общем случае уравнение плоской волны распространяющейся вдоль положительного направления оси х в среде, не поглощающей энергию, имеет вид: . Фазовая скорость: V=dx/dt. Уравнение сферической волны- волны, волновые поверхности которой имеют вид концентрических сфер, где r- расстояние от центра волны до рассматриваемой точки среды. Если фазовая скорость волн в среде зависит от их частоты, то это явление называют дисперсией волн. Распространение волн в однородной изотропной среде в общем случае описывается воновым уравнением:

№22.Период колебаний математ-о маятника. Приведенная длина физ-го маятника. Математический маятник -идеализированная сис-а состоящая из материальной точки массой m, подвешенной на нерастяжимом невесомой нити, и колеблющаяся под действием силы тяжести.Момент инерции математического маятника: J=ml², Где l-длина маятника. Период колебаний мат-го маятника: . Приведенная длина физ-го маятника – длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника.

№25.Сложение колебаний, Биения.

Колеблющиеся тело может учавствовать в нескольких колебательных процессах,тогда чтобы найти результирующее колебание, иными словами, колебания нужно сложить. Периодические изменения амплитуды колебания, возникающее при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называются- биениями. Гармонический анализ сложного периодического колебания(разложения Фурье) : . Где w₀-циклическая частота. Слагаемые ряда Фурье, определяюobt гармонические колебания с частотами w₀, 2w₀, 3w₀, …, называются первой(основной) , второй, третьей и т.д гармониками сложного периодического колебания.