9 Вопрос
Рассмотрим следующий пример задачи линейного программирования.
В состав рациона кормления животных входят сено, силос и концентраты. Содержание питательных веществ и минимально необходимые нормы их потребления в сутки (исходные данные взяты произвольно) приведены в таблице.
Определить суточный рацион, стоимость которого была бы минимальной.
|
Белок, г/кг |
Кальций, г/кг |
Витамины, усл. ед./кг |
Цена 1 кг, р. |
Сено |
40 |
5 |
2 |
300 |
Силос |
20 |
4 |
1 |
200 |
Концентраты |
160 |
4 |
2 |
500 |
Нормы потребления (в сутки) |
2000 |
120 |
40 |
|
Математическая модель задачи имеет следующий вид:
Переменные означают количества сена, силоса, концентратов в рационе. Получили задачу линейного программирования, которая имеет оптимальное решение.
Изменим содержание условия оптимальности. Необходимо определить суточный рацион, масса (количество) которого была бы максимальной. Новая задача линейного программирования не будет иметь оптимального решения, так как целевая функция будет неограничена сверху на множестве допустимых решений. Причина такой ситуации является неправильный выбор критерия оптимальности.
10 Вопрос
Рассмотрим следующий пример задачи линейного программирования.
На предприятии имеется возможность выпускать 2 вида продукции P1 и P2. При её изготовлении используются ресурсы R1, R2 и R3. Размеры допустимых затрат ресурсов ограничены соответственно величинами b1, b2 и b3. Расход ресурса i–го вида (i=1, 2, 3) на единицу продукции j–го вида составляет aij единиц. Цена единицы продукции i–го вида равна ci ден. ед. Найти план выпуска продукции по видам с учётом имеющихся ограниченных ресурсов, который обеспечивал бы предприятию максимальный доход.
Исходные данные для решения задачи
Ресурсы и цены продукции |
Затраты ресурсов на производство единицы продукции (aij) |
Запасы ресурсов (размеры допустимых затрат ресурсов, bi) |
|
P1 |
P2 |
||
R1 |
3 |
4 |
30 |
R2 |
2 |
1 |
16 |
R3 |
8 |
9 |
72 |
Цены продукции |
30 |
25 |
|
Математическая модель задачи имеет следующий вид:
Переменные означают количества продукции P1 и P2.
Математическая модель задачи представляет собой задачу линейного программирования, так как целевая функция и все функции в ограничениях являются линейными функциями.
Приведем задачу линейного программирования к каноническому виду.
Введем три дополнительные переменные x3, x4 , x5, которые принимают неотрицательные значения. В целевую функцию введем дополнительные переменные с нулевыми коэффициентами. Свободные члены в системе уравнений канонической задачи должны быть неотрицательными.
В результате получаем каноническую задачу линейного программирования с положительными свободными членами.
Значения дополнительных переменных показывают недоиспользованные объемы ресурсов. Если объем равен 0, то такой ресурс является дефицитным (ценным); если положителен, то такой ресурс является бездефицитным.