6 Вопрос

Модель межотраслевого баланса называется продуктивной (работоспособной), если существует положительный столбец объемов валового выпуска продукции отраслей X, для которого справедливо неравенство:

(1).

Если модель Леонтьева является продуктивной, то матрица коэффициентов прямых затрат A также называется продуктивной.

Экономический смысл продуктивности заключается в следующем: отрасли производственной сферы экономики могут выпустить некоторое количество продукции, которая используется для удовлетворения конечного спроса. Другими словами, при таких объемах выпуска продукции создается положительный столбец конечного продукта.

Если модель межотраслевого баланса продуктивна, то для любых объемов конечной продукции, отрасли могут выпустить необходимое количество валовой продукции, то есть система линейных уравнений имеет неотрицательное решение при любых неотрицательных значениях свободных членов.

Пусть модель межотраслевого баланса продуктивна.

Столбец объемов валового выпуска продукции отраслей X (размеров производства) можно найти, используя следующую формулу:

Y – столбец объёмов конечного потребления, A – матрица коэффициентов прямых материальных затрат, E – единичная матрица.

7 Вопрос

Упорядоченный набор значений переменных (x₁, x₂,….x_n) (иначе точка или вектор с координатами (x₁, x₂,….x_n)), удовлетворяющий ограничениям задачи линейного программирования называется допустимым решением (или планом) задачи линейного программирования.

Множество всех допустимых решений задачи линейного программирования (далее, для краткости, ЗЛП) называется допустимым множеством этой задачи. Если ЗЛП имеет хотя бы одно допустимое решение (т.е. ее допустимое множество не пусто), она называется допустимой, если ЗЛП не имеет ни одного допустимого решения (т.е. допустимое множество пусто), она называется недопустимой.

Вектор называется оптимальным решением задачи линейного программирования, если, во – первых, он есть допустимое решение этой задачи и если, во – вторых, на этом векторе целевая функция достигает наибольшего значения (в случае задачи максимизации) или наименьшего значения (в случае задачи минимизации). Решить ЗЛП означает – указать по крайней мере одно оптимальное решение или установить, что задача не имеет оптимального решения.

8 Вопрос

Рассмотрим следующий пример задачи линейного программирования.

На предприятии имеется возможность выпускать 2 вида продукции P₁ и P₂. При её изготовлении используются ресурсы R₁, R₂ и R₃. Размеры допустимых затрат ресурсов ограничены соответственно величинами b₁, b₂ и b₃. Расход ресурса i–го вида (i=1, 2, 3) на единицу продукции j–го вида составляет a_ij единиц. Цена единицы продукции i–го вида равна c_i ден. ед. Найти план выпуска продукции по видам с учётом имеющихся ограниченных ресурсов, который обеспечивал бы предприятию максимальный доход.

Исходные данные для решения задачи

Ресурсы и цены продукции	Затраты ресурсов на производство единицы продукции (aij)		Запасы ресурсов (размеры допустимых затрат ресурсов, bi)
	P1	P2
R1	3	4	30
R2	2	1	16
R3	8	9	72
Цены продукции	30	25

Математическая модель задачи имеет следующий вид:

Переменные означают количества продукции P₁ и P₂.

Математическая модель задачи представляет собой задачу линейного программирования, так как целевая функция и все функции в ограничениях являются линейными функциями.

Добавим в систему еще одно ограничение: спрос на продукцию P₁ должен быть не менее 9 единиц. Но запасов второго ресурса не хватит для выпуска продукции P₁ в объеме 9 единиц: 29=18>16.

В результате новая система ограничений оказалась несовместной, задача не имеет допустимых решений (не допустима), а поэтому оптимального решения не имеет.