34 Вопрос

Предположим, что производственная фирма производит один вид продукции и технология его производства требует использования двух видов ресурсов. Технологическая связь между затратами ресурсов и выпуском продукции описывается производственной функцией

Обозначим через

p – цену единицы выпускаемой продукции;

w₁ – цену единицы первого ресурса;

w₂ – цену единицы второго ресурса.

Например, если x_k – число занятых в производстве работников, то w_k – сред-няя заработная плата одного работника. Если x_k – сырье, то w_k – цена единицы сырья. Если x_k – производственные фонды, то w_k – арендная плата за единицу фондов.

Выражение определяет стоимость выпуска продукции, а выражение – – стоимость ресурсов (издержек производства).

Задача максимального выпуска продукции при заданном объеме издержек имеет вид:

• найти объемы ресурсов , которые обеспечивают максимум выпуска продукции

  • при ограничениях

x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0

Величина C определяет верхнее значение стоимости издержек.

Эта задача является задачей нелинейного программирования. Для ее решения построим функцию Лагранжа

Если в оптимальном решении должны использоваться все ресурсы x₁ > 0, x₂ > 0, то необходимые и достаточные условия оптимальности имеют вид

Отсюда следует, что оптимальное распределение ресурсов и множитель Лагранжа λ^* являются решением системы уравнений

Заметим, что предельная норма замены первого ресурса вторым равна

Поделив первое уравнение системы уравнений на второе, получим

т.е. в точке оптимального распределения ресурсов предельная норма замены первого ресурса вторым равна отношению их рыночных цен.

35 Вопрос

Обозначим через d – плановый объем производства продукции, p₁ и p₂ – цены ресурсов. Производственная функция предприятия, например, имеет вид функции Кобба – Дугласа:

Модель минимизации затрат при заданном объеме выпуска продукции имеет следующий вид:

Экономический смысл этой модели состоит в следующем: обеспечить заданный (плановый) объем производства с наименьшими затратами.

Задача оптимизации, которая получается на основе этой модели, представляет задачу нелинейного программирования.

36 Вопрос

Задача математического программирования имеет следующий общий вид:

Если целевая функция или хотя бы одно из ограничений нелинейные, то имеем задачу нелинейного программирования.

Пусть функции в ограничениях – линейные функции, а целевая функция имеет следующий вид:

Тогда имеем задачу квадратичного программирования.

Важным видом задач нелинейного программирования являются задачи выпуклого программирования. Задача выпуклого программирования имеет следующий вид:

Целевая функция и все функции в ограничениях – выпуклые функции. Тогда множество допустимых решений является выпуклым множеством. Смысл задачи выпуклого программирования следующий: найти наименьшее значение выпуклой функции на выпуклом множестве.

37 Вопрос

Задача математического программирования имеет следующий общий вид:

Функция Лагранжа задачи математического программирования имеет следующий вид:

Переменные λ₁, λ₂,………….., λ_m называются множителями Лагранжа.