22 Вопрос

После того как оптимальное решение получено, выявляется его чувствительность к определенным изменениям исходной модели. Например, может представить интерес то, как повлияет на оптимальное решение изменение запасов сырья и изменение прибыли от единицы продукции. В связи с этим логично выяснить:

1. Увеличение объемов какого вида ресурсов наиболее выгодно?

2. На сколько можно увеличить запас сырья для улучшения полученного оптимального значения целевой функции?

3. Каков диапазон изменения того или иного коэффициента целевой функции, при котором не происходит изменения оптимального решения?

4. Целесообразность включения в план новых изделий.

23 Вопрос

Одно из эффективных средств экономико-математического анализа — использование объективно обусловленных оценок оптимального плана. Такого рода анализ базируется на свойствах двойственных оценок.

Перечислим эти свойства.

Свойство 1. Оценки как мера дефицитности ресурсов и продукции.

Свойство 2. Оценки как мера влияния ограничений на функционал.

Свойство 3. Оценки как инструмент определения эффективности отдельных вариантов.

Свойство 4. Оценки как инструмент балансирования суммарных затрат и результатов.

Рассмотрим пример.

Построим двойственную задачу по канонической форме задачи:

• найти план x₁, x₂, s₁, s₂ , который дает максимальную выручку

• при ограничениях

,

,

.

Исходные данные для построения модели

Ресурс	Нормы затрат на ед. продукции		Запас ресурса
	Продукт1	Продукт2
Сырье	a11 =5	a12 =10	b1=1000
Время изготовления	a21 =0,1	a22 =0,3	b2=25
Цена за ед. продукции	c1=40	c2 =100

Правило построения двойственной задачи состоит в следующем. Каждому равенству прямой задачи соответствует двойственная переменная. Стрелки показывают, что первому равенству соответствует переменная y₁, а второму – переменная y₂.

Для определения целевой функции W двойственные переменные y₁ и y₂ умножаются на правые части равенств и складываются:

W = 1000 y₁+ 25 y₂.

Каждой переменной прямой задачи x₁, x₂, s₁, s₂ соответствует одно ограничение двойственной задачи. Левые части этих ограничений для переменной x₁ записываются следующим образом. Двойственные переменные y₁ и y₂ умножаются на коэффициенты перед переменной x₁ и складываются: 5 y₁+ 0,1 y₂ .

Аналогично, записываются левые части ограничений для переменной x₂. Двойственные переменные y₁ и y₂ умножаются на коэффициенты перед переменной x₂ и складываются: 10 y₁ + 0,3 y₂ .

Левая часть ограничений для переменной s₁ равна y₁ ,а для переменной s₂ – y₂

Правые части ограничений равны коэффициентам целевой функции Z перед переменными x₁, x₂, s₁ ,s₂. Левые и правые части ограничений соединяются знаком ≥.

В результате двойственная задача имеет вид:

• найти двойственные переменные y₁ и y₂ ,при которых целевая функция W минимальна

min W = 1000 y₁+25 y₂

• при ограничениях ,

,

,

.

Переменные y₁, y₂, называются допустимым решением двойственной задачи, если они удовлетворяют всем ограничениям

Переменные y₁, y₂ называются оптимальными, если они допустимые и на них целевая функция W достигает минимума.

Экономически:

• двойственная переменная y₁ определяет теневую цену 1 кг сырья;

• двойственная переменная y₂ определяет теневую цену 1 часа работы оборудования. Тогда

• целевая функция W = 1000 y₁+ 25 y₂ задает стоимость запасов сырья и времени работы оборудования в теневых ценах.

Выражение z₁ = 5 y₁+0,1 y₂ определяет стоимость 5 кг сырья и 0,1 часа времени, затраченных на изготовление единицы продукции 1 в теневых ценах, а выражение z₂ = 10y₁+ 0,3y₂ определяет стоимость 10 кг сырья и 0,3 часа времени, затраченных на изготовление единицы продукции 2 в теневых ценах.

Для определения прибыльности производства продукции сравним стоимость ресурсов (в теневых ценах ресурсов), на него затраченных, с выручкой от продажи продукции. Для этого определим приведенные стоимости производства каждого вида продукции

,

.

Если величина Δ _j положительна, то стоимость ресурсов больше рыночной цены этого продукта. В этом случае производство продукта убыточно и выгоднее продать ресурсы по рыночным ценам. Если величина Δ _j отрицательна, то стоимость ресурсов меньше рыночной цены этого продукта. В этом случае производство прибыльно и выгоднее производить продукцию. Если величина Δ _j равны 0, то стоимость ресурсов равна рыночной цене. В этом случае одинаково выгодно продать ресурсы и производить продукцию.

Ограничения двойственной задачи:

,

можно теперь записать:

Δ₁ ≥ 0,

Δ₂ ≥ 0.

Из последних неравенств следует, что на допустимых теневых ценах производство обоих продуктов неприбыльно. Величины Δ_j показывают величину изменения выручки при выпуске единицы этой продукции.

Можно дать следующую экономическую интерпретацию двойственной задачи. Некоторая фирма предлагает производителю продукции продать ей все запасы ресурсов по теневым ценам y₁, y₂. Неравенства означают, что в предлагаемых теневых ценах производство обоих видов продукции неприбыльно. При этом целевая функция означает, что стоимость приобретаемых ресурсов должна быть минимальна. Таким образом, решение двойственной задачи определяет минимальный уровень рыночных цен y₁, y₂, при котором производить продукцию неприбыльно.