11, 12. Перетворення ммср і лмср при стохастичній закономірності

Дана матрична модель, тобто _{яка складається з матричної схеми} , та інформації .

_{Треба перетворити її в лотерейну модель, тобто , яка складається з лотерейної схеми} та інформації .

Треба побудувати відображення , яке задовільняє умову

_Отже:

={ }

={ }

={ }

Тепер треба перенести інформацію. При дії наслідок наступає при будь-якому значенні параметра , для якого . Тому розумно встановити між розподілами і таку залежність

Оскільки ми вважаємо, що є тільки одне істинне значення параметра , то події є несумісними, а отже для будь якої їх суми справедливо

Тому

Побудувати модель МСПР по заданій моделі (зі стохастичною закономірністю) ЛСПР

Перевести МОДЕЛЬ=перевести СХЕМУ+перевести ІНФОРМАЦІЮ. Схему переводимо аналогічно до Матрична ситуація прийняття рішень. Розподіл на W будуємо так: для кожного параметру ймовірність його появи визначатимемо, як добуток ймовірностей настання відповідних наслідків за кожної дії P(ω)= P_dj(g(ω,d_j))

Побудувати модель ЛСПР по заданій моделі (зі стохастичною закономірністю) МСПР

Z_М Z_Л - так як і в Лотерейна ситуація прийняття рішень

I_М I_Л: P_dj(c_i)= P(ω_k)

d_j D, c_i C, j 1..|D|, i=1..|C|

1 3. Функція корисності

Для будь якого розподілу та будь якої дійсної функції на множині , існує позначимо через математичне очікування функції відносно розподілу . Іншими словами :

Дійсна функція , задана на множині , називається функцією корисності, якщо вона має наступні властивості :

• Нехай та - два розподіли, для яких існує середнє та . Тоді в тому і тільки в тому випадку, коли . Для будь якого доходу число називається корисністю .

Таким чином, один імовірнісний розподіл варто вибирати ніж інший, тільки в тому випадку, коли очікувана корисність отримуваного доходу при першому розподілі більше, ніж при другому.

Корисність імовірнісного розподілу – це очікувана корисність доходу, отримуваного при даному розподілі.

Існує два важливих наслідки із слідства існування функції корисності :

по перше, якщо та - два доходи, то тоді і тільки тоді, коли . Цей результат є слідством із визначення функції корисності.

По друге, існування функції корисності гарантує спів ставність, широкого класу розподілів .

Відношення визначає деяку функцію корисності. Наступна лема показує, що у випадку існування функції корисності деякі її лінійні перетворення є також функціями корисності.

Лема 1. Нехай - функція корисності на . Тоді будь яка функція вигляду , де та - сталі , також є функцією корисності.

Доведення. Для будь якого розподілу середнє існує тільки тоді, коли існує . Нехай та - два розподіли з кінцевими середніми , . Так як - функція корисності, то в тому випадку коли .

Але

та в силу позитивності нерівність рівносильна нерівності . Відповідно - функція корисності.

14.

У моделі ТПР проектор - функція Π: (S × Β_c) → Β_u (див. ТПРК1:Лекція2), який показує, як ТПР обирає своє відношення переваг на наслідках і будує відношення переваг на діях. Теорема про очікувану корисність - це спроба описати проектор.

Нехай можна впорядкувати множину наслідків C. Наприклад:  . Така множина наслідків називається доходами. Тоді можна ввести "грошовий еквівалент". Тобто співставити наслідкам дійсні числа. У випадку скінченної множини C маємо монотонно-зростаючу функцію. За накладання додаткових умов на множину наслідків ця функція може бути лінійною. Ця функція називається функцією корисності.

Функція корисності позначається через U (utility function). Можна стверджувати, що якщо існує функція корисності U, то існує відповідна їй функція втрат L (loss function), і це однозначна відповідність.

Теорема фон Неймана-Моргенштерна, яка дозволяє побудувати лінійну функцію корисності, була доведена для лотерейної моделі. Тобто її умова має вигляд:

S₁ = (Z₁,I₁)

де Q_u - розподіл ймовірностей на множині наслідків для дії u.

монотонність функції корисності 

Дійсна функція L, визначена на множині C, є функцією корисності, або відповідно втрат, якщо вона є монотонна: 

Якщо C - скінченна, то функцією корисності можуть бути індекси впорядкованої послідовності.

15. Маємо лотерейну модель непараметричної ситуації, тобто

_{яка складається з лотерейної схеми}

_{та інформації – розподілу ймовірностей на Cu}

Потрібно побудувати матричну модель, тобто

_{яка складається з матричної схеми}

та інформації P, тобто розподілу ймовірностей на .

U і C є по умові, треба знайти , та P. і мають задовольняти умову:

По іншому кожне значення параметру можна приймати як елемент декартового добутку підмножин наслідків, які відповідають кожній дії:

Після цього можна побудувати розподіл на . Подія полягає в одночасному настанні подій , , тобто

де q - розподіл на

В нашій задачі ми вважаємо настання наслідків при різних діях незалежними подіями, тому природньо дати властивість

Перехід від матричної моделі до лотерейної можна сформулювати наступним чином. Дана матрична модель, тобто

_{яка складається з матричної схеми}

та інформації P.

_{Треба перетворити її в лотерейну модель, тобто}

_{яка складається з лотерейної схеми}

та інформації Q.

Для цього переходу треба побудувати відображення , яке задовольняє умову

Тепер треба перенести інформацію. При дії u_i наслідок наступає при будь-якому значенні параметра , для якого . Тому розумно встановити між розподілами і таку залежність

Так як допускається, що природа знаходиться в одному певному стані (тобто існує реально має місце лише одне з значень параметра ), то події є несумісними, а отже

Тому

16.Оптимальним рішенням називається те, при якому досягається найкращий середній виграш.

Або те, яке приносить найкращий наслідок з найбільшою ймовірностю.