1.3 Температурная зависимость поляризуемости полярных диэлектриков
В полярных диэлектриках молекулы имеют готовый электрический момент. Если внешнего поля нет, то результирующий момент равен нулю (рис). Приложение электрического поля к диэлектрику приводит к ориентации диполей по полю и возникает поляризация диэлектрика. Энергию диполей находящихся в электрическом поле можно описать соотношением:
,
(46)
где θ – угол между вектором поляризации диполя и напряженностью электрического поля Е. Наименьшую энергию имеют диполи, ориентированные по направлению поля (θ = 0), а наибольшую - против поля θ = π). Максимальная поляризуемость может быть достигнута при низких температурах Т≈ 0.
,
(47)
С повышением температуры возрастает разупорядоченность диполей и уменьшается поляризация диэлектрика.
Предположим, что вероятность dW найти молекулу с дипольным моментом р и потенциальной энергией U ориентированным в элементе телесного угла dΩ равна:
,
(48)
где элемент телесного угла:
,
(49)
а вероятность состояния молекулы с потенциальной энергией U при данной температуре определяется выражением:
,
(50)
Поляризацию диэлектрика в одном из выбранных направлений Pz можно найти, как сумму проекций всех дипольных моментов pi,z молекул, расположенных в единице объема диэлектрика на направление Z:
(51)
Общая поляризация диэлектрика в направлении действия поля Еz :
,
(52)
Значение среднего косинуса может быть вычислено по формуле:
,
(53) в этих вычислениях сделана
замена переменной
;
и определены приделы интегрирования
для угла θ от 0 до π (для η от -1 до +1) и для
угла φ от 0 до 2 π. При вычислениях сделана
замена
а = рЕ/кТ, (54)
Не трудно видеть, что интеграл в числителе (53) представляет собой первую производную интеграла знаменателя:
,
(55)
,
(56)
Согласно полученным соотношениям (53), (55) и (56) усредненный косинус будет равен:
,
(57)
где L(a) функция Ланжевена.
Подставляя полученное выражение (57) в (52) получим соотношение, которое определяет зависимость поляризации диэлектрика от напряженности электрического поля и температуры:
(58)
Функцию Ланжевена можно представить графически (рис).
Если
диэлектрик находится при высоких
температурах и небольших величинах
напряженности электрического поля то
при этом
L(a)
=
,
(59)
В
области малых полей
и
,
(60)
Сопоставляя соотношение (60) с (8) получим выражение для диэлектрической проницаемости:
,
(61)
При
низкой температуре
и
Функция Ланжевена
Разделив
обе части уравнения (43) на количество
дипольных моментов в единице объема
получим среднее значение проекции
электрического момента молекулы на
направление электрического поля
, (62)
,
(63)
,
(64)
Если в структуре диэлектрика есть молекулы, обладающие индуцированными и готовыми дипольными моментами, то формула для молярной рефракции будет состоять из двух слагаемых:
,
(65)
,
(66)
Согласно этой формуле из экспериментальной зависимости молярной рефракции от обратной температуры можно определить дипольный момент молекулы:
.
(67)