2.2. Нормальная и аномальная дисперсия.

Из теории Максвелла следует, что показатель преломления может быть вычислен по формуле:

, (164)

Подставляя ранее полученное выражение (151) для диэлектрической проницаемости в (164) получим:

, (165)

второй член соотношения (165) намного меньше единицы. Тогда можно использовать следующее приближение:

, (166)

С учетом соотношения (166) преобразуем (165) путем умножения мнимой части показателя преломления на комплексно сопряженное:

 , (167)

С учетом того, что показатель преломления является комплексной величиной, выделим действительную и мнимую часть:

, (168)

, (169)

, (170)

Выясним физический смысл действительной и мнимой части показателя преломления. Используя уравнение (127) для плоской электромагнитной волны и формулу связывающую волновой вектор с диэлектрической проницаемостью

, (171)

получим:

, (172)

Подставим (172) в (127) тогда уравнение плоской волны будет описываться соотношением:

, (173)

Теперь легко понять смысл мнимой части показателя преломления. Допустим мнимой части нет, тогда

, , (174)

и амплитуда постоянна.

Если мнимая часть волнового вектора имеет определенное значение, то амплитуда электромагнитной волны будет

, (175)

а следовательно и ее энергия, экспоненциально уменьшается по мере проникновения вглубь диэлектрика (рис.).

Физический смысл вещественной части показателя преломления может быть понят из анализа фазовой и групповой скорости электромагнитной волны

Из (127) следует, что фаза колебаний электромагнитной волны определяется соотношением:

, (176)

Зафиксируем фазу и вычислим первую производную по времени

, (177)

Полученное выражение

, (178)

показывает, с какой скоростью движется зафиксированная фаза и соответствует фазовой скорости движения электромагнитной волны.

При этом действительная часть показателя преломления n₀ определяет, во сколько раз фазовая скорость в среде меньше, чем в вакууме. Это и есть оптический показатель преломления.

Рассмотрим область частот вдали от резонанса . Тогда из соотношения (169) следует, что действительная часть показателя преломления определится выражением:

, (179)

Вдали от резонанса показатель преломления растет с частотой (рис.) – нормальная дисперсия. Этот результат является достижением электронной теории. Из теории Максвелла следует, что показатель преломления является постоянной величиной . Лоренц объяснил изменение показателя преломления света от частоты электромагнитного поля на основе теории упруго-связанных электронов.

Вблизи резонанса: - уменьшается - аномальная дисперсия света. Одной формулой удалось объяснить как нормальную, так и аномальную дисперсию света, что явилось большим достижением в физике.

Переход от одного вида дисперсии к другому может возникать в веществах содержащих частицы разного сорта. Тогда соотношение (179) необходимо преобразовать для множества частиц. Допустим, что в исследуемой системе имеются электроны разного сорта N_i .(где i - число сортов)

Тогда соотношение (179) с учетом (плазм частота) примет вид:

, (180)

, (181)

- сила осциллятора i-го сорта.

Cумма сил осцилляторов всегда равна единице:

, (182)

Эта формула в оптике называется правилом сумм для сил осцилляторов. В квантовой теории тоже есть правило сумм сил осцилляторов, только используется модель квантового осциллятора

, (183)

Электроны находятся на различных энергетических уровнях и по -разному связаны с ядром поэтому вместо собственной частоты колебаний электрона необходимо ввести боровскую частоту связанную с переходом электрона с одного энергетического уровня на другой

, (184)

В квантовой физике поляризацию диэлектрика можно представить через среднее значения дипольного момента молекулы

, (185)

и среднее смещение зарядов под действием поля будет:

, (186)

Подставляя соотношение (186) в (185) получим формулу, по которой можно рассчитать поляризацию диэлектрика в n-состоянии:

, (187)

Когда на диэлектрик действует электромагнитное поле, то его состояние изменяется и общую волновую функцию можно представить как сумму волновых функций в не возмущенном состоянии и волновую функцию представляющую собой поправку на возмущение за счет световой волны.

, (188)

С учетом выражения (187) и (188) поляризация диэлектрика будет определятся соотношением:

, (189)

где сс – комплексное сопряженное выражение

При рассмотрении индуцированной поляризации можно опустить первый интеграл так, как он определяет спонтанную поляризацию атома, не зависящую от напряженности поля. Если нет спонтанной поляризации, то Р=0.

Интеграл мал, т.к. он определяет поправку за счет возмущения и его можно не учитывать.

Чтобы рассчитать общую поляризацию диэлектрика Р необходимо найти поправку в виде волновой функции за счет возмущения . Из квантовой механики следует, что волновую функцию можно представить как сумму линейных комбинаций невозмущенных функций . Это означает, что если на диэлектрик подействовать полем , то электрон может оказаться на любых уровнях:

, (190)

Вероятность перехода электрона на другой уровень . Здесь коэффициент зависит от времени и является решениями дифференциального уравнения.

, (191)

где W – энергия возмущения. Решив это уравнение, можно найти коэффициент С_к.

Подставим (190) в (189) и получим выражение для поляризации диэлектрика:

, (192)

С учетом того, что волновая функция в стационарном состоянии описывается выражениями:

, (193)

Выражения для поляризации диэлектрика можно преобразовать к виду:

, (194)

где - матричный элемент.

Для вычисления поляризации диэлектрика необходимо знать вероятность перехода определяемую коэффициентом с_k и энергию возмущения W. Потенциальная энергия возмущенияW определяется из соотношения:

, (195)

где Е – напряженность электромагнитного поля равного:

, (196)

Тогда энергия возмущения равна

, (197)

Коэффициент С_k найдем из дифференциального уравнения подставив (197) в (191):

, (198)

Подставим (193) в (198) и получим соотношение:

, (199)

Из (199) найдем коэффициент с_k для этого проинтегрируем выражение (199)

, (200)

Подставим данное выражение (200) в (194):

, (201)

С учетом соотношения того, что , получим соотношение:

, (202)

подставляя выражение (202) и раскрывая вид комплексно сопряженного СС₅ получаем:

, (203)

, (204)

, (205)

, (206)

C другой стороны и Е связаны равенством (8). Сопоставляя соотношение (206) с (8) получим :

, (207)

, (208)

Используя (165), (166) и соотношение (208) можно получить выражение для показателя преломления:

, (209)

Обсудим полученный результат. Сравним (209) с классической формулой (180) введем квантовую силу осциллятора

, (210)

и получим соотношение:

. (211)

Функциональные зависимости показателей преломления света полученные из классических представлений (180) и квантовой механики (211) похожи.

Вместе с тем есть и отличия:

1. Вместо частоты собственных колебаний электрона была введена боровская частота . Сила осциллятора, которая в классической теории зависит от одного сорта электронов, в квантовомеханическом рассмотрении зависит от боровских частот.

2. В классическом рассмотрении сила осциллятора всегда положительная. Квантовая сила осциллятора может быть, как положительной, так и отрицательной.

, если , когда Е_к>E_n

, если Е_к<E_n. Этот случай делается возможным, если система первоначально возбуждена, например, при помощи приложения постоянного электрического поля.

Если , то дисперсия света будет отрицательной. Таким образом, квантовая теория объясняет отрицательную дисперсию света (рис).