17. Функциональные последовательности и ряды.

Определение: Функциональной последовательностью называется последовательность вида , если множество . Множество – область определения последовательности.

Для каждого фиксированного функциональная последовательность превращается в числовую.

Говорят, что функциональная последовательность сходится в данной точке, если она сходится как числовая.

Определение: Множество называется областью сходимости функциональной последовательности.

Определение: Пределом функциональной последовательности называется функция, полученная подставлением в предел каждого значения из области сходимости. Такая сходимость называется поточечной. .

Определение: Выражение вида , называется функциональным рядом, если

Определение: Множество тех значений , при которых данный функциональный ряд сходится как числовой называется его областью сходимости.

Т еорема: Для того что бы функциональный ряд сходился на множестве , чтобы на этом множестве сходилась последовательность его частичных сумм. – сходился – сходился.

Определение: Функция называется суммой ряда.

Определение: Последовательность называется равномерно сходящейся к функции на множестве , если .

Геометрически это означает Функция при расположена в полосе между пунктирными линиями.

Замечание: Любая равномерно сходящаяся последовательность сходится и поточечно. Обратное не верно.

Теорема (Критерий сходимости Коши равномерной сходимости ФП): Для того чтобы ФП сходилась на множестве к некоторой функции равномерно необходимо и достаточно чтобы выполнялось условие: .

Док-во: 1) Необход: , если .

2)Достат: ; – фиксированный, – числовая . Из признака Коши следует поточечная сходимость Данной последовательности функции . В неравенстве устремляем , Это означает что последовательность равномерно сходится к .

Определение: Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве к функции , если последовательность его частичных сумм равномерно сходится к этой функции. .( или функциональный ряд сходится к функции на множестве , если )

Теорема (Критерий сходимости Коши равномерной сходимости ФР Вейерштраса): Для того чтобы функциональный ряд равномерно сходился к функции необходимо и достаточно, чтобы .

Док-во: , т.е. для последовательности частичных сумм выполняются условия предыдущей теоремы следовательно она равномерно сходится к .

Теорема: Пусть на множестве для функционального ряда выполняется условие и пусть числовой «+» ряд является сходящейся мажорантой для данного функционального ряда. Тогда функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно на множестве .

Док-во: следовательно данный ряд сходится равномерно и абсолютно.

Теорема (о непрерывности): Пусть последовательность равномерно сходится на множестве к функции , тогда если все функции непрерывны, то и предельная функция непрерывна.

Определение: Ряд вида называется степенным рядом. Это частный случай функционального ряда, где .

Замечание: Ряд вида , так же называется степенным, но исследовать, такой ряд отдельно не обязательно, т.к. он сводится к ряду, представленному выше подстановкой .

Замечание: Область сходимости степенного ряда всегда не пустое множество т.к. ряд из предыдущего определения сходится к точке 0, а из замечания к точке , а сумма ряда равна .

Теорема (Абеля): Если степенной ряд сходится в некоторой точке , то он сходится для удовлетворяющему неравенству .

Если степенной ряд расходится в некоторой точке , то он расходится для удовлетворяющему неравенству .

Теорема: Если степенной ряд сходится не только в точке 0 и не на всей числовой оси, то существует «+» действительное число, обозначаемое называемое радиусом сходимости степенного ряда такое что для ряд сходится, а – ряд расходится.

Теорема (Коши-Адамара): Для степенного ряда радиус сходимости вычисляется по формуле (или по формуле ) - верхний предел. (Верхним пределом числовой последовательности называется верхняя грань пределов всех её подпоследовательностей)

Замечание: Для степенного ряда сходящегося не только в точке вычисляют не только радиус сходимости, но и промежуток сходимости который имеет вид .

Теорема: Пусть , тогда степенной ряд равномерно сходится на .

Док-во: – сходится абсолютно по т. Абеля. по т. Вейерштрасса ряд сходится равномерно.

Теорема: Сумма степенного ряда есть функция непрерывная на всем промежутке сходимости.

Теорема: Степенной ряд можно почленно интегрировать на отрезке, который расположен внутри интервала сходимости. Следовательно, если  , то выполняется равенство

Если ряд интегрируется на отрезке  то справедлива формула: .

Теорема: степенной ряд можно почленно дифференцировать на всем промежутке сходимости. .

Теорема: Степенной ряд, ряд полученный дифференцированием и интегрированием данного ряда имеют одинаковый радиус сходимости.

Определение: Пусть функция представляется в виде степенного ряда на некоторой окрестности точки при , тогда говорят, что функция разложена в степенной ряд в окрестности точки .

Теорема: Если функция разлагается в степенной ряд, то это разложение единственно.

Док-во: ;

. Видно что коэффициенты разложения в ряд определяются однозначно.

Определение: Ряд вида называется рядом Тейлора функции .

Теорема: Для того что бы функция разлагалась в ряд Тейлора в некоторой окрестности точки что бы стремился к нулю откаточный член формулы Тейлора. (Разность между функцией   и её многочленом Тейлора называется -ым остатком, или  -ым остаточным членом; обозначим этот остаток через : .)

Теорема (достаточное условие сходимости ряда Тейлора функции ): Если функция  является бесконечно дифференцируемой на интервале  и все её производные ограниченны одной и той же постоянной на , то ряд Тейлора сходится к функции   на этом интервале.

Биномиальный ряд.

Разложим функцию в ряд Тейлора. Найдем производные: …; Вычислим значение функции и значения производной в точке 0:

Вычислим радиус сходимости: . Т.е. ряд сходится на .

- построенный ряд называется биноминальным.