15.4 Масса плоской кривой
Теорема. Пусть
-плоская гладкая кривая, 
-линейная
плотность массы в текущей точке кривой
.
Тогда масса кривой вычисляется по
формуле: 
В случае постоянной
линейной плотности 
(масса распределена равномерно вдоль
кривой) масса кривой численно равна ее
длине
Пусть плоская
кривая задана в декартовой системе
координат параметрическими уравнениями
где 
,
и пусть 
-линейная
плотность распределения массы в точке
этой кривой. Тогда масса кривой вычисляется
по формуле
Статические моменты, моменты инерции и центры тяжести плоских кривых и фигур Случай плоской кривой
Пусть на плоскости
в декартовых координатах
задана система
материальных точек 
с массами 
,
и некоторая прямая 
(ось),
причем расстояние от точки 
до оси равно 
.
Статическим моментом этой системы относительно данной оси называется сумма
где расстояния
точек, лежащих по одну сторону от оси,
берутся со знаком плюс, а расстояния
точек по другую сторону-со знаком минус.
В частности, статическими моментами
и 
систем точек 
относительно осей
и 
соответственно называются суммы
произведений масс этих точек на их
ординаты( абсциссы):
Моментами инерции
и 
системы материальных точек
относительно осей
и 
называются суммы произведений масс
точек на квадраты их расстояний до
соответствующей оси:
Теорема(статические
моменты и моменты инерции плоской
кривой). Пусть дана дуга
плоской гладкой кривой длины
.
Возьмем за независимую переменную длину
дуги 
,
отсчитываемую от точки 
.
Тогда статические моменты и моменты
инерции этой дуги относительно осей
и
вычисляются соответственно по формулам
где -дифференциал дуги.
Статические моменты
и
кривой легко позволяют установить
положение ее центра тяжести 
.
Точка 
обладает тем свойством, что если в ней
сосредоточить всю “массу”
кривой (численно равную длине), то момент
этой точки относительно любой оси
совпадает с моментом кривой относительно
этой оси.
Теорема(координаты центра тяжести плоской кривой). Координаты центра тяжести дуги плоской кривой находятся по формулам
Если плоская кривая
задана в декартовой системе координат
явным уравнением 
,
то статические моменты, моменты инерции
относительно координатных осей и
координаты центра тяжести ее дуги
вычисляются по формулам
где дифференциал
дуги
Теорема(первая теорема Гульдина). Величина площади поверхности, полученной от вращения кривой вокруг некоторой не пересекающей ее оси, лежащей в плоскости кривой, равна длине дуги этой кривой, умноженной на длину окружности, описанной центром тяжести кривой:
Случай плоской фигуры
Рассмотрим на
плоскости в прямоугольных координатах
криволинейную трапецию
,
ограниченную сверху гладкой кривой
,
снизу осью абсцисс, слева и
справа-вертикальными прямыми, проходящими
через точки
и
(с
абсциссами
и
соответственно). Предположим, что по
этой фигуре равномерно распределена
масса с постоянной поверхностей
плотностью 
.
Без существенного ограничения общности
будем считать, что
(в
этом случае масса трапеции численно
равна ее плошади).
Теорема. Статические моменты и моменты инерции криволинейной трапеции относительно осей и вычисляются по формулам
где -дифференциал
площади криволинейной трапеции (в
прямоуголиных координатах 
),
-площадь
криволинейной трапеции
.
Теорема. Пусть -площадь фигуры, тогда центр тяжести имеет координаты
Если кривая
,
ограничивающая сверху криволинейную
трапецию
,
задана явным уравнением 
,
т.е.
то статические моменты, моменты инерции
относительно координатных осей и
координаты центра тяжести фигуры
вычисляются по формулам
Если фигура имеет ось симметрии, то центр тяжести фигуры лежит на этой оси.
Теорема(2 теорема Гульдина). Величина объема тела, полученного вращением плоской фигуры вокруг некоторой не пересекающей ее оси, лежащей в плоскости фигуры, равен произведению площади этой фигуры на длину окружности, описанной центром тяжести фигуры:
Аналогично вводится
понятие момента инерции 
однородного тела
в пространстве( в предположении, что
объемная плотность тела равна 1)
относительно произвольной оси
:
где -расстояние
от элемента 
до оси
(кратный
интеграл берется по области, занимаемой
телом
).