15.2 Понятие спрямляемой кривой.

Плоской кривой назовем множество всех точек плоскости, координаты и которых в декартовой прямоугольной системе координат определяются уравнениями

где функции непрерывны в каждой точке своей области задания . Аргумент этих функций, принимающий действительные значения, будем называть параметром. Введем понятие длины дуги параметризуемой кривой и рассмотрим некоторые свойства кривых, имеющих длину дуги (такие кривые принято называть спрямляемыми).

Пусть плоская кривая параметризуется уравнениями

где , и -произвольное разбиение сегмента точками . Раpбиению соответствует разбиение кривой точками , где . Образовавшуюся при этом ломанную будем называть ломанной, вписанной в кривую и отвечающей разбиению сегмента . При этом длина звена , этой ломанной находится по формуле расстояния между двумя точками плоскости:

Поэтому длина всей ломанной равна

Кривая называется спрямляемой (или имеющей конечную длину), если множество длин вписанных в кривую ломанных , отвечающих всевозможным разбиениям сегмента , ограничено. При этом точная верхняя грань множества называется длиной дуги кривой и обозначается :

Теорема(Достаточное условие спрямляемости плоской кривой и длина дуги в прямоугольных координатах)

Пусть функции и непрерывны и имеют непрерывные первые производные и на сегменте . Тогда кривая , определяемая параметрическими уравнениями , спрямляема, и длина ее дуги может быть вычислена по формуле

Подынтегральное выражение называется при этом дифференциалом дуги и обозначается . Для плоских спрямляемых кривых справедливо равенство , где

Случай явного задания кривой в декартовых координатах(зависимости от (или от )).

Если кривая является графиком функции , непрерывной и имеющей на сегменте непрерывную производную , то кривая спрямляема, и ее длина может быть найдена по формуле

При этом дифференциал дуги равен

Рисунок из пункта 6.3.2

вычисление с помощью криволинейного интеграла 1 рода из вопроса 14

15.3 Квадрируемость кривой поверхности и ее площадь

Назовем область трехмерного пространства односвязной, если любой принадлежащей ей замкнутой контур может быть непрерывно деформирован(стянут) в точку, оставаясь все время в .

Пусть -односвязная область на гладкой поверхности, ограниченная кусочно-гладким контуром. Разобьем область кусочно-гладкими кривыми на конечное число частей , каждая из которых однозначно проектируется на касательную плоскость, проходящую через точку , принадлежащую . Предел суммы площадей этих проекций (если он существует), взятых по всем элементам разбиения, при условии, что максимальный диаметр этих элементов стремится к нулю и что он не зависит от выбора точек , называется площадью области . При этом фигура , расположенная на кривой поверхности, называется квадрируемой. Например, квадрируемыми являются кусочно-гладкие ограниченные полные двусторонние поверхности. Площади фигур, расположенных на кривых поверхностях, обладают свойствами, аналогичными свойствам инвариантности и аддитивности площадей плоских фигур.

Площадь поверхности вращения в декартовых координатах

Вращение вокруг оси .Теорема(случай параметрического задания кривой). Пусть плоская кривая задана параметрическими уравнениями

где на сегменте . Тогда площадь поверхности , полученной вращением вокруг оси , вычисляется по формуле