Понятие кубируемого тела. Объем тела.
Введем понятие объема для произвольного тела в пространстве. Рассмотрим для этого всевозможные многогранные тела , целиком содержащиеся в , и многогранные тела , целиком содержащие . Тела будем называть вписанными в , а тела -вписанными около .
Числовое множество
объемов всех вписанных многогранных
тел
ограничено сверху, например, объемом
любого описанного многогранного тела
.
Поэтому это множество имеет конечную
точную верхнюю грань
которую будем
называть нижним объемом тела
.
Если в тело
нельзя вписать ни одного многогранника,
то по определению полагается 
.
Аналогично, числовое
множество 
объемов всех описанных около тела
многогранных тел
ограничено снизу, например, объемом
любого вписанного многогранного тела
или нулем, и поэтому у него существует
конечная точная нижняя грань.
Называемая верхним
объемом тела
.
Очевидно, что 
.
Тело называется кубируемым(т.е. имеющим конечный объем), если
Число 
называется при этом объемом тела
(по Жордану).
Будем говорить,что тело имеет объем, равный нулю, если это тело содержится в многогранном теле сколь угодно малого объема.
Теорема(Необходимое и достаточное условие кубируемости). Для того чтобы тело было кубируемо, необходимо и достаточно, чтобы его граница имела объем нуль.
Площадь криволинейной трапеции
Фигура задана
стандартно относительно оси 
.
Рассмотрим фигуру
в системе прямоугольных координат 
,
ограниченную сверху графиком заданной
на сегменте 
непрерывной и неотрицательной функции
,
слева и справа-прямыми 
и 
,
и снизу-отрезком оси
между точками
и 
.
Эту фигуру будем называть криволинейной
трапецией, прилежащей к оси
;
её можно задать как множество точек
плоскости
Теорема .Криволинейная трапеция , прилежащая к оси , представляет собой квадрируемую фигуру, площадь которой вычисляется по формуле
Доказательство.
Так как функция 
непрерывна на сегменте
,
то она интегрируема на этом сегменте.
Значит, для любого числа
существует разбиение 
сегмента
такое, что 
,
где 
-соответственно
верхняя и нижняя суммы Дарбу для функции
,
отвечающие разбиению 
(критерий Римана интегрируемости функции
на сегменте).
Рассмотрим многоугольные фигуры и , состоящие из прямоугольников со сторонами
и 
,
,
соответственно. Тогда очевидно, что
,
причем 
.
Значит, 
,
т.е. фигура
квадрируема. С другой стороны, так как
и 
,
то получаем, что для любого
выполнено:
Так как площадь фигуры и интеграл от функции по сегменту -числа, не зависящие от выбора ε, то из последнего следует, что
Теорема доказана
Площадь криволинейного сектора
Пусть плоская
кривая 
задана в полярной системе координат
уравнением 
,
разрешенным относительно 
( т.е. зависимость
от 
задана явным образом), где 
,
причем функция 
непрерывна и неотрицательна на этом
сегменте. Назовем криволинейным сектором
плоскую фигуру, ограниченную кривой
и двумя лучами, составляющими с полярной
осью углы 
:
.
Теорема. Криволинейный сектор представляет собой квадрируемую фигуру, площадь которой вычисляется по формуле:
Рисунок из пункта 5.5.1 книги
Площадь кругового
сектора
вычисляется по формуле 
,
где
-
радиус сектора, -раствор сектора в
радианах
Объем тела, элементарного относительно координатной оси
Рассмотрим в
прямоугольной системе координат
некоторое кубируемое тело
,
расположенное между плоскостями
и
так, что при любом 
сечение данного тела плоскостью,
проходящей через точку 
перпендикулярно оси
,
непусто и квадрируемо, причем известна
площадь
этого сечения.
Теорема. Пусть площадь сечения кубируемого тела как функция непрерывна на сегменте . Тогда объем тела вычисляется по формуле
Доказательство. Рисунок из 7.4 книги
Произведем разбиение
сегмента
на оси
точками
,
и разделим плоскостями 
все тело на слои. Рассмотрим 
й
слой 
,
содержащийся между плоскостями 
и 
,
.
Так как он кубируем (как часть кубируемого
тела
)
, то существует многогранные тела
и 
,
например в виде совокупностей прямоугольных
параллелепипедов с ребрами, параллельными
координатным осям, такие , что,
целиком содержится в
,
а
содержит
внутри себя. Проделав это для каждого
слоя, в результате построим два отвечающих
данному разбиению многогранных тела
и 
,
первое из которых содержится в
,
а второе-содержит в себе
,
объемы которых удовлетворяют неравенству
причем разность 
можно сделать
меньше любого
наперед заданного положительного числа
(при достаточно малом диаметре разбиения
).
Так как к телам
и
доказываемая формула, очевидно, применима,
то обозначив через 
и 
площади их поперечных сечений, будем
иметь
С другой стороны,
так как 
,
то и
Получили, что в
силу (*) и (**) объем
тела
и интеграл 
оба содержатся между одними и теми же
числами
и
,
разница между которыми меньше, чем ε.
Так как ε можно выбрать произвольно
малым, то отсюда и вытекает справедливость
формулы (1).
Объем тела вращения в декартовых координатах
Криволинейная трапеция задана стандартно относительно оси и вращается вокруг оси
Теорема. Пусть
функция 
непрерывна на сегменте
.
Тогда тело 
,
образованное вращением вокруг оси
криволинейной трапеции
кубируемо, и его
объем 
может быть вычислен по формуле
Рисунок из пункта учебника 7.5.1
Далее задачи приводящие к понятию 2-х и 3-х интегралов в предыдущем вопросе!