2. Свойства кратных интегралов.

1. Линейность по функции: Пусть функции   и   интегрируемы на  , тогда . Данное свойство попутно иллюстрирует аддитивность двойного интеграла.

2.Аддитивность области. Пусть область разбита на частей: , тогда .

3. Монотонность по функции: на тогда

4. Если , то и . (т.к. )

5.  .

6. Если непрерывна в замкнутой области , и (т.е. - наименьшее значение функции на области , а – наибольшее значение функции на ), то выполняется следующее неравенство ( – площадь области ).

7. Теорема о среднем

Если непрерывна в области , то такая что .

Док-во: – обозначим через и соответствующим наибольшему и наименьшему значениям функции в замкнутой области . ; ; . Пусть , тогда . Так как число находится между наибольшим и наименьшим значение функции , то это число (то теореме о промежуточном значении) Должно являтся одним из значений той же функциию Поэтому , такая что ил .

Геометрический смысл этой теоремы таков: объём цилиндрического тела равен объёму цилиндра с тем же основанием и высотой, равной значению функции в точке .

Аналогичными свойствами обладает, и тройной интеграл только в свойствах 6 и 7 площадь заменяется на объем.

Вычисление кратных интегралов.

.

Теорема: Пусть в прямоугольнике , и пусть , тогда справедлива формула (так же справедлива формула ). Формула в правой части называется повторным интегралом и означает . Из теоремы следует что .

Д ок-во: ; – сечения проведенные , . , при каждом заданном мы знаем площадь сечения. Подставим в формулу объема найденную площадь ; из задачи следует, что объем цилиндрического бруса равен .

Теорема: Пусть в области и тогда справедлива формула . Где область задается в виде: в противном случае область разбивается на части, каждая из которых м.б. представлена в таком виде.

Сведение тройного интеграла к повторному: Пусть в пространственной области и пусть такова, что всякая вертикальная прямая пересекает ее поверхность не более чем в 2-х точках и пусть сверху это тело ограничено функцией . Обозначим проекцию этого тела на ось . Тогда если , то . Если область такая что её граница м.б. описана в виде системы неравенств , и тогда справедлива следующая формула: .

Замечание: Если изменять порядок интегрирования, то можно записать еще 5 аналогичных формул.

Замена переменных в кратных интегралах.

Теорема (в 2-ом интеграле): Пусть и пусть причем и непрерывно дифференцируемые функции, тогда справедлива формула: , – якобиан.

Рассмотрим частный случай когда для данной формулы новая СК является полярной т.е. .

Вычислим Воспользовавшись формулой из прядущей теоремы получаем: . Переход к полярным координатам в 2-ом интеграле осуществляется если подынтегральная функция содержит выражение или граница области зависит от этого выражения.

Теорема (в 3-ом интеграле): Пусть и пусть , тогда справедлива формула замены переменных: .

О пределение: Точка называется заданной в цилиндрической СК если она определяется полярными координатами её проекции на пл. и расстоянием от самой точки до этой проекции с соответствующим знаком .

Установим связь Вычислим Воспользовавшись формулой из предыдущей теоремы получаем .

Замечание: Цилиндрическая система координат используется, в случае если функция зависит от или если граница пространственной области выражается через эту величину.

Определение: Точка называется заданной в сферической СК если она определяется расстояние от начала координат до этой точки; углом между «+»-ым направлением и радиус вектором ; и углом между «+»-ым направлением и проекцией радус вектора на плоскость и обозначается .

.

Установим связь

Воспользовавшись формулой из предыдущей теоремы получаем .

Замечание: Цилиндрическая система координат используется, в случае если функция зависит от или если граница пространственной области выражается через эту величину.