24. Случайные величины, их функции распределения, их числовые характеристики. Независимые случайные величины. Закон больших чисел.

Случайной величиной (СВ) наз-ся числовая, измеримая по Борелю ф-ия, определенная на пр-ве элемент. событий такая, что где борелевское множество на прямой (мн-во, полученное с пом. конечного числа операций объединения, пересечения, разности множества ), алгебра событий.

СВ наз. дискретной, если мн-во ее знач-й не более чем счетно. В противном случае, СВ наз. непрерывной.

Законом распределения вероятности СВ наз. правило, устанавл-ее связь м/у возможными значениями СВ и их вероятностями.

Закон распределения ДСВ обычно задается в виде таблицы

			…
			…

возможные значения , соответствующие вероятности. Т.к. события образуют полную группу событий, то

Примеры распределения дискретных СВ.

1.Биномиальное распределение.(распределение Бернулли)

СВ 𝜉 распределена по биномиальному закону, если она принимает целочисленные значения , и вероят-ти вычис-я по ф-ле Бернулли

2.Распределение Пуассона.

Такое распределение, при котором СВ принимает целочисленные значения а вероятности

;

.

3. Геометрическое распределение.

СВ имеет геометрическое распределение, если означает число проведенных испытаний до наступления события А, причем вероятность успеха в кажд. испытании const и равно p, возможные значения

Соответствующие вероятности где р – вероятность наступления А, . Испытания независимы.

4. Гипергеометрическое распределение.

N объектов, среди которых M особенных объектов. Случайно выбираются n объектов, 𝜉- число особенных объектов выборки ,

.

Функцией распределения вероят-й СВ 𝜉 наз. вероят-ть таких элем-х соб-ий при кот. СВ приним. зн-е меньше действ. числа x

Свойства:

- монот-но не убывает на всей числ. прямой

−во:

2.

3. - непрерывна слева в каждой точке, т.е.

Док-во: Рассм. - возр. посл-ть,

;

Зам-е: функция распределения м. б. определенна иначе: , при таком определении ф-ии распределения F(x) будет непрерывна справа.

Вероятности некот-х событий:

1. 

2. 

3. 

4. 

Ф-ия распр-я дискретных СВ.

𝜉 – ДСВ;

Зафиксируем Пусть - знач-я СВ, кот удовл условию

Функция распределения ДСВ явл. ступенчатой ф-ией

СВ называется абсолютно непрерывной, если существует такая ф-ия , что

называется плотностью распределения вероятностей. Из определения следует дифференциальная функция распределения

Примеры распределения АНСВ.

Нормальное распределение.(Распределение Гаусса)

Плотность распределения задается следующей формулой: .

Функция распределения имеет вид:

Равномерное распределение на отрезке [a;b]

Плотность распределения задана следующим образом:

Функция распределения имеет следующий вид:

Числовые характеристики дискретных случайных величин.

Математическое ожидание.

Определение: Математическое ожидание СВ называют число, равное , если интеграл Лебега-Стилтьеса существует. В случае ДСВ .

Дисперсия – (рассеивание) Служит для оценки меры или степени рассеивания, возможных значений СВ вокруг математического ожидания.

Определение: Дисперсией СВ называется Величина Равная .

В случае ДСВ: .

Числовые характеристики АНСВ.

Математическое ожидание.

Определение: Математическое ожидание СВ называют число, равное , если интеграл Лебега-Стилтьеса существует. В случае АНСВ .

Дисперсия – (рассеивание) Служит для оценки меры или степени рассеивания, возможных значений СВ вокруг математического ожидания.

Определение: Дисперсией СВ называется Величина Равная .

В случае ДСВ: .

Закон больших чисел.

Под законом больших чисел в широком смысле понимается общий принцип, согласно которому совокупные действия большого числа факторов приводят к результату почти независимому от случая.

В узком смысле понимается ряд теорем, в которых устанавливается факт приближения средних характеристик большого число опытов к некоторым определенным постоянным.

Лемма Чебышева: если СВ 𝜉 приним-т только неотриц знач-е и им. матем. ожидание, то для любого (мат. ожид-е – среднее значение СВ)

Неравенство Чебышева: если СВ 𝜉 имеет D(𝜉)(дисперсия – хар-т меру рассеяния СВ вокруг матем. ожидания), то для

Теорема Чебышева: если дисперсия n-независимых-х СВ огранич. одной и той же постоян-й , то при неогран-м увелич-и числа n среднее арифметическое СВ сходящихся по вероятности к сред арифметическому их математических ожиданий

Теорема Маркова: - независимых одинак распред-е СВ с и . Тогда

Определение: Ковариацией компонент и называется число Обозначаемое . Ковариация характеризует тесноту связи между компонентами и . Если , то говорят что компоненты не коррелированы.

Независимость СВ.

О: дано произ-е вероятн-е прост-во . СВ наз независимыми если

Т.: СВ 𝜉,η нез-мы тогда и только тогда, когда вер-ть попад-я двумерной вел-ны в прямог-к (*)

Док-во:1. – независимы.

2.] (*) вып-ся, док-м что 𝜉 и η- нез-мы

т.е. 𝜉 и η –независимы-мы

Т:( усл-е независимости СВ в абсол непр случаях)

СВ 𝜉 и η независимы-мы т. и т. т когда

Т: (усл-е независимости СВ в дискретных случаях)

] распр-е СВ 𝜉 и η зад.форм-ми:

. Тогда для т. чт. 𝜉 и η были нез-мы н. и д., чт. вып-сь усл-е: , где

Свойства математического ожидания СВ.

1. ;

2. ;

3. ;

4. Если независимые СВ, то ;

Свойства дисперсии СВ.

1. ;

2. 

3. ;

4. Если независимые СВ, то ;

Центральная предельная теорема

Рассмотрим последовательность величин имеющих . Рассмотрим СВ ; ; . Рассмотрим – нормированная сумма. .

Теорема (Линдеберг-Леви): – независимые одинаково распределённые СВ с тогда нормированная сумма СВ стремится при к нормал-му распред-ю с парамет.

Теорема (Ляпунова): Пусть – независимые СВ и пусть Тогда , причем . Тогда ЗРВ нормированной суммы стремится при к нормальному ЗР .