
- •13. Двойные и тройные интегралы.
- •2. Свойства кратных интегралов.
- •7. Теорема о среднем
- •14. Криволинейные интегралы первого рода
- •Свойства криволинейного интеграла первого рода
- •Криволинейный интеграл 2-го рода.
- •Свойства криволинейного интеграла первого рода
- •Сведение криволинейного интеграла первого рода к определенному.
- •Сведение криволинейного интеграла второго рода к определенному.
- •15.1 Квадрируемая фигура и ее площадь
- •Понятие кубируемого тела. Объем тела.
- •15.2 Понятие спрямляемой кривой.
- •15.3 Квадрируемость кривой поверхности и ее площадь
- •15.4 Масса плоской кривой
- •Статические моменты, моменты инерции и центры тяжести плоских кривых и фигур Случай плоской кривой
- •Случай плоской фигуры
- •16. Числовые ряды.
- •17. Функциональные последовательности и ряды.
- •21. Понятие функции комплексной переменной дифференцируемой в точке.
- •22.Интегрируемость функции комплексной переменной. Интегральная теорема Коши. Формула Коши. Особые точки. Вычеты.
- •23. Аксиоматическое определение вероятности. Вероятностное пространство. Условные вероятности. Формула полной вероятности, формула Байеса.
- •24. Случайные величины, их функции распределения, их числовые характеристики. Независимые случайные величины. Закон больших чисел.
23. Аксиоматическое определение вероятности. Вероятностное пространство. Условные вероятности. Формула полной вероятности, формула Байеса.
Пространство
элементарных событий
- совокупность всех мысленных исходов
испытаний.
Пример:
Подбрасываем монету 1 раз
Монета бросается до тех пор, пока не выпадет герб
Исходы испытания - элементарные события ω
Событием будем
называть любое подмножество пространства
достоверное событие,
невозможное событие.
Невозможное событие
-
событие, которое в данном испытании не
наступает
Достоверное событие Ω- событие, которое обязательно произойдет в испытании.
Суммой событий А и В назыв. событие А+В, состоящие в наступлении хотя бы одного из событий А или В.
Произведением событий А и В назыв. событие А*В, состоящие в одновременном наступлении событий А и В.
Пример: Бросаем 1, 2, 3, 4, 5, 6}
А – «четное число очков», А={2, 4, 6}
В – «число очков больше 4», В={5, 6}
А+В={2, 4, 5, 6}, АВ={6}.
Если наступление
означает, что наступает событие А, то
говорят, что элементарное событие
благоприятствует А.
Если наступление
А означает, что наступит В, то говорят,
что А влечет В.
Разностью событий
А и В назыв. событие
,
которому благоприятствуют те ЭС А,
которые не благоприятствуют В.
Пример:
противоположное событию А.
События А и В
называют несовместными, если они не
могут наступить одновременно
Замечание:
т.е. не совместные события
Пусть дана система событий F для (ПЭС).
Система событий F называется алгеброй событий, если
Алгебра F
называется
алгеброй событий, если
Числовая функция Р определенная на алгебре событий F называется вероятностью (вероятной мерой) события А, если выполняются следующие аксиомы:
(неотрицательность)
(нормированность)
(аддитивность)
Для убывающей цепочки событий
выполняется условие
(непрерывность)
несовместные события, то
(счетная аддитивность).
Свойства вероятности:
Док-во:
В силу несовместности по аксиоме 3
Док-во:
т.к.
,
то по аксиоме 3
⇒
по аксиоме 1
Док-во:
⇒
по аксиоме 3
Тройка
называется вероятностным пространством.
Классическое определение вероятности:
Пусть
конечно (
исходов), исходы испытаний несовместны
и равновозможны (равновероятны)
Тогда
число исходов, благоприятствующих А,
число всех исходов испытания. Это и есть
классическое определение вероятности
(Лаплас)
Геометрическое определение вероятности:
Пусть имеется
измеримая область
,
в которую случайно бросается точка.
Имеется область
А – «случайная точка, брошенная в область
попадет в
».
Вероятность
попадания в область
не зависит от распределения
,
а пропорциональна мере
.
,
mes
– мера.
Теорема: сложение несовместных событий (док-во ММИ)
Теорема: сложение совместных событий:
Условной вероятностью
события А при условии, что событие В уже
наступило
назыв. число равное:
Свойства:
несовместны.
Теорема умножения:
События
А и В назыв. независимыми, если
События
А и В независимы
Формула полной вероятности.
Гипотезы
удовлетворяют условиям:
(попарно несовместны)
образуют полную группу событий.
Совместно с гипотезами происходит событие А. Р(А) -?
формула полной вероятности.
Если А уже наступило,
Формула Бернулли.
Одно и тоже испытание повторяют раз, при неизменных условиях (т.е. происходит независимых повторных испытаний). Каждое испытание имеет два исхода: «успех» - появление события А в данном испытании, «неудача» - не появление А.
Вероятность
«успеха» в каждом испытании постоянна
и равна
,
вероятность «неудачи»
А – событие «успех» наступит раз при независимых испытаниях.
Обозначим
Событию А
благоприятствуют «цепочки»
.
формула Бернулли.