22.Интегрируемость функции комплексной переменной. Интегральная теорема Коши. Формула Коши. Особые точки. Вычеты.

Пусть в плоскости задана гладкая (или кусочно гладкая) линия . .

1) Построим разбиение следующим образом: . И соответствующее ему разбиение в комплексных числах .

2) Отмеченное разбиение: , .

3) Рассмотрим аналитическую функцию заданную в области , ; – значение функции в отмеченных точках.

4)Составим интегральную сумму

5) выбираем в качестве параметра разбиения .

Определение: Если независящей от отмеченного разбиения, то этот предел называется криволинейным интегралом, функции комплексной переменной по заданному контуру и обозначается интеграл по контуру от функции :

. – сведение интеграла по криволинейному контуру от ФКП к интегралу по криволинейному контуру от ФДП.

. – сведение к интегралу Римана.

Свойства аналогичные свойствам криволинейного интеграла 1-го рода от ФДП.

Теорема (Интегральная теорема Коши): Пусть функция - однозначная аналитическая функция в некоторой области , и пусть замкнутый контур является кусочно гладкой кривой, лежащим в области вместе со своей внутренностью, тогда .

Док-во: Докажем в частном случае, когда производная непрерывна в области . В доказательстве будем использовать формулу Грина, поэтому контур будем выбирать так, чтобы всякая прямая параллельная любому из координатной осей пересекала его не более, чем в двух точках.

Формула Грина: , где внутренность контура . Подсчитаем так как f^’(z) была непрерывна, то частные производные непрервны и каждому криволинейнму интегралу в правой части применим формулу Грина.

,так как функция f(z) аналитическая, то она удовлетворяет условиям Коши-Римана, а значит оба двойных интеграла равны , то

Т еорема (Теорема Коши для составного контура): Пусть задана многосвязная область, ограниченная контурами причем все контуры лежат в плоскости и не пересекаются между собой, тогда если – однозначная аналитическая функция, то .

Док-во: Если в формуле не указано направление движения по контурам и то предполагается «+» направление т.е. против часовой стрелки. Проведем доказательство для . Т.е. . В любом месте проведем разрез данной области тогда по теореме Коши приведенной выше получаем что .

, .

Теорема (Интегральная формула Коши): Пусть однозначная аналитическая функция в некоторой односвязной области и пусть замкнутый контур , представляющий собой кусочно гладкую кривую, лежит внутри области , и пусть точка лежит внутри контура , то справедлива формула:

Следствие: В условиях интегральной формулы Коши выплняется следующая формула: .

Следствие: Если функция разлагается в степенной ряд в окрестности точки , то это разложение единственно и является рядом Тейлора, т.е. или, используя предыдущее следствие, получаем .

Определение: Если функция аналитическая в некоторой проколотой окрестности точки (т.е. за исключением самой этой точки) и не определена в самой точке , то точка называется изолированной особой точкой функции .

Разложение аналитической функции в ряд Лорана.

Определение: Для функции ряд вида называется рада Лорана, Если коэффициенты вычисляются по формулам . При этом первое слагаемое называют главной частью, а второе правильной частью ряда Лорана.

Замечание: Если функция аналитична в точке и некоторой её окрестности, то главная часть ряда Лорана равна и функция разлагается в ряд Тейлора.

Изолированные особые точки бывают трёх типов: устранимые, полюсы, существенно-особые.

Определение: Точка функции называется:

1) устранимой если существует . (также их называют правильными точками)

2) полюсом, если . (неправильные точки)

3) существенно особой, если предел не существует.(Неправильные точки)

Теорема: Точка является устранимой особой точкой функции , то главная часть её лорановского разложения . Верно и обратное. .

Теорема: Если главная часть Лорановского разложения функции в изолированной точке содержит конечное число слагаемых, то данная точка есть полюс, при чем если слагаемых, то говорят что – полюс – порядка. Если то полюс простой.

Теорема: Если главная часть лорановского разложения функции бесконечна, то точка – существенно особая.

Определение: Вычетом функции в изолированной особой точке называется коэффициент в лорановском разложении функции в окрестности точки и обозначается: (или вычетом функции в точке называется .)

Теорема (Основная теорема вычетов): Пусть внутри замкнутого контура функция – аналитична за исключением особых точек , тогда .

Теорема: Пусть простой полюс , тогда:

1) .

2) и пусть и пусть , тогда .

Теорема: Пусть полюс порядка для функции , тогда .

Определение: Вычетом Функции в бесконечно удаленной точке называется (или вычетом функции в бесконечно удаленной точке называется .)

Теорема: (О полной системе вычетов): Если функция аналитична во всей комплексной плоскости за исключением конечного числа изолированных особых точек, то сумма вычетов данной функции по всем особым точкам, включая , равна .