12. Линии и поверхности в е3. Первая основная квадратичная форма поверхности и её приложения.

П усть точка М движется в евклидовом пространстве Е₃. Зада­дим в пространстве прямоугольную систему координат Oijk. Поло­жение частицы в момент времени t (из некоторого временного про­межутка J можно определить радиус-вектором r(t) точки М отно­сительно точки О. Когда t меняется в промежутке J, мы получаем

векторную функцию r(t) скалярного аргумента t, определенную в промежутке J. Эта функция имеет координаты x(t), y(t),z(t) в базисе i,j, k. Это значит, что r(t) = x(t)+ у (t)J+ z(t)k, причем x(t), y(t), z(t) — координаты точки М в момент времени t.

Простейшими линиями в пространстве Ез назовем любую прямую, отрезок и луч. Фигура Ез называется элементарной J линией (или элементарной кривой), если она гомеоморфна одной из простейших линий.

Если в пространстве Ез задана прямоугольная система координат Oijk, то элементарная линия определяется системой уравнений х = x(t), у = y(t), z = z(t), где t изменяется в некотором промежутке J, а правые части в форму­лах— непрерывные в промежутке J функции.

Уравнения называются параметрическими уравнениями дан­ной линии.

Линией (или кривой) называется фигура, которую можно по­крыть конечным или счетным множеством элементарных линий.

Пусть элементарная линия у₀ определена параметрическими урав­нениями x = x(t), y = y(t) z = z(t). Линия называется гладкой линией класса С^k , где k — некоторое натуральное число, если функции x(t) y(t) и z(t) имеют в промежутке J непрерывные производные до порядка k включительно.

Будем называть простейшей поверхностью в пространстве E3 лю­бую из следующих фигур: плоскость, замкнутую полуплоскость, квадрат.

Элементарной поверхностью называется фигура, гомеоморфная какой-либо из простейших поверхностей.

Зададим в пространстве прямоугольную систему координат

Oijk и рассмотрим тот гомеоморфизм f :G->Fo, который переводит область G в элементарную поверхность F₀. Если точка (u, v) G пе­реходит в точку М(х, у, z) F₀, то ясно, что х, у, z являются функция­ми x = х(u, v), у = у(u, v), z = z(u, v), определенными в области G. Уравнения называются параметри­ческими уравнениями поверхности F₀. Эти уравнения равносильны одному векторному уравнению r = x(u, v)i + у(u, v)j + z(u, v)k

Пусть F₀ — элементарная поверхность, заданная параметриче­скими уравнениями. Поверх­ность F₀ называется гладкой класса C^k (k — натуральное число), если правые части уравнений являются функциями, имеющими в области G непрерывные частные производные до порядка k вклю­чительно.

Дифференциал векторной функции r(u, v) в произвольной точке имеет вид dr = r_udu + r_vdv. Отсюда следует, что (dr)² = ф11 (du)² + ф12dudv + ф21 dvdu + ф22 (dv)²

где ф11 = r_u², ф12 = ф21 = r_ur_v, ф22 = r_v². Правая часть формулы является квадратичной формой.

Квадратичная форма ф11 (du)² + 2ф12dudv + ф22 (dv)² называется первой квадратичной формой поверхности Fo или ее линейным элементом.

Свойства.

1.Квадратичная форма положительно определенная, так как если du и dv не обращаются в нуль одновременно

2. Касательное векторное подпростран­ство Т_м к поверхности F₀ в ее точке М является двумерным евклидо­вым векторным пространством.

Приложения:

1. Длина дуги.

Рассмотрим на поверхности Fо гладкую линию : u = u(t) v = v(t), где параметр t изменяется в некотором промежутке J. Линия в про­странстве задается уравнением г = r(u(t), v(t)). Дифферен­цируя это уравнение по t, получаем:

Так как где s — длина дуги линии , то из этой формулы находим:

Отсюда следует, что

(ds)² = ф11 (du)² + 2ф12dudv + ф22 (dv)²

Таким образом, значение первой квадра­тичной формы поверхности представляет собой квадрат дифференциала длины дуги гладкой линии, лежащей на поверхности, при бесконечно малом смещении точки вдоль этой линии.

Получаем формулу для вычисления длины дуги линии ф с концами в точках M₁(t₁) и М₂(t₂), где t₁ < t₂.

Таким образом, значение первой квадра­тичной формы поверхности представляет собой квадрат дифференциала длины дуги гладкой линии, лежащей на поверхности, при бесконечно малом смещении точки вдоль этой линии.

2. Угол между линиями.

Пусть ф, ф1 — две гладкие линии на поверхности F_o, проходящие через точку М. Углом между линиями ф, ф1 называется угол между касательными к этим линиям в их общей точке М.

Обозначим через d и b символы дифференцирования вдоль линий ф, ф1. Значит, dr и bг — векторы касательных к линиям ф, ф1 в точке М. Угол ф между линиями 7, 7 можно вычислить как угол между векторами dr и бг:

3. Площадь куска поверхности

К внутренней геометрии гладкой поверхности относят такие свой­ства этой поверхности и фигур на ней, которые определяются только первой квадратичной формой. Можно сказать, что задачи о вычисле­нии длины дуги на поверхности, угла между линиями, площади поверхности) относятся к внутренней геометрии поверх­ности.

Полная кривизна поверхности.

Вектор нормали:

Вторая квадратичная форма поверхности:

Уравнение главных кривизн:

Теорема Гаусса.

Полная кривизна поверхности выражается только через коэффициенты первой квадратичной формы и их производные.