10. Многоугольники. Площадь многоугольника. Теорема существования и единственности. Равновеликость и равносоставленность. Понятие простого многоугольника

Основная фигура – многоугольник.

0:Многоугольник будем называть простым, если все его вершины различные, ни одна вершина не явл внутренней точкой стороны и никакие две стороны не пересекаются во внутренней точке

Будем говорить что многоугольник Р разбит на 2 многоугольника– Р₁ и Р₂ и он является суммой Р=Р₁ + Р₂

Определение площади многоугольника.

0: Пусть каждому многоугольнику Р поставлено в соответствие положительное число S(H)>0 так что при этом выполняются следующие аксиомы:

1) Равным многоугольникам соответствуют равные числа

P=Q ⇒S(P)=S(Q)

2) Если многоугольник разбит на 2 многоугольника Р₁ и Р₂ то многоугольнику Р ставится в соответствие число, равное сумме чисел поставленных в соответствие многоугольникам

Р=Р₁ + Р₂ ⇒S(P)=S(Р₁) + S(Р₂)

3) Квадрату, сторона которого равна единице длины ставится в соответствие число равное 1

Тогда число S(P) будем называть площадью многоугольника, а квадрат 3) будем называть единицей площади

Теорема существования и единственности площади простого многоугольника. Вычисление площадей прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции.

Основная задача в теории измерения площадей это док- во двух предложений:

I. если система измерения площадей существует, то каждому многоугольнику может быть поставлено в соответствие единственное число >0

II. Всегда можно поставить многоугольнику число >0, которое удовлетворяет 3 условиям определения.

I. Пусть каждому многоугольнику можно поставить в соответствие число >0,

которое удовлетворяет 3 условиям определения, тогда можно доказать следующие теоремы:

• Площадь прямоугольника равна произведению основания на высоту

• Площадь параллелограмма равна произведению любой из его сторон на

соответствующую высоту

• Площадь треугольника равна половине произведения любой из его сторон на

соответствующую высоту

• Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту

Док – во этих теорем известно из школьного курса геометрии

Теорема: если многоугольник каким бы способом разбить на треугольники, то сумма площадей этих треугольников всегда одинаковая (Без док – ва)

II. Каждому многоугольнику поставим в соответствие число (см выше) и докажем что вес 3 аксиомы (условия) опр площади выполняются

1) Если многоугольники равны, то их можно разбить на одинаковое число равных треугольников ⇒ равная сумма многоугольников.

2) Выполняется

3) Берем квадрат со стороной единицы длины и нужно показать что ему соответствует число 1.

Разбиваем его на 2 треугольника, они прямоугольные; каждому треугольнику соответствует число равное ½ ⇒ всему квадрату соответствует число 1

Р азличные формулы для площади треугольника

Где:

— высота, проведённая на сторону ,

— полупериметр,

r — радиус вписанной окружности

r_b— радиус вневписанной окружности, касающейся стороны b,

R — радиус описанной окружности,

Определения равносоставленности и равновеликости многоугольников.