9). Система аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства, ее непротиворечивость.

2 основн.объекта: вектор и точка; 4 отношения: сумма векторов, произведение вектора на число, скалярное произведение векторов, инцендентность упорядочен.пары точек и векторов; 5 групп аксиом.

I гр. Аксиомы сложения векторов.

Каждым 2-м векторам ставится в соответствие др.вектор, являющийся их суммой так, что вып-ся след.условия:

1. ( + )+ = +( + )

2. + = +

3. : + =

4. , : + =

IIгр. Умножение вектора на число

Каждому вектору и числу ставится в соответствие новый вектор

II₁. 1 =

II₂. )=( )

II₃. ( = +

II₄. + ) = +

I, IIгр. дают определение векторного пространства.

Далее вводится понятие «линейная комбинация векторов», «линейно зависимая система векторов», «линейно независимая система векторов».

III₁. Сущ-т 3 линейно независимых вектора

III₂. Всякие 4 вектора явл-ся лин.зависимыми

I-III дают определение 3-х мерного векторного пространства.

Далее вводим понятие базиса векторного пространства, о разложении вектора по данному базису, о единстве разложения.

IV. Каждой паре векторов ставится в соответствие число(скаляр), называемый скалярным произведением векторов так, что при этом вып-ся след.условия:

IV₁. =

IV₂. ( ) = ( )

IV₃. ( + )= +

IV₄. => > ; = 

Опр. Множество векторов, кот.удовл-т аксиомам I-IV групп будем называть 3-х мерным евклидовым векторным пространством.

Если , то по IV₄ > => = - длина вектора.

Если , то можно ввести величину угла = ; если один вектор , то угол между векторами неопределен.

Опр. Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно 0.

В евклидовом пространстве всегда можно построить ортонормированный базис (векторы, которые попарно ортогональны и их длина равна 1).

V₁. Сущ-т по крайней мере одна точка

V₂. Если заданы точки A и B в определенном порядке, то существует единственный вектор такой, что пара AB инцендентна вектору (пару AB будем обозначать: )

V₃. Если даны точка A и вектор , то B такая, что вектор инцендентен вектору .

V₄. Для любых трех точек A,B,C имеет место равенство: + = (аксиома треугольника).

I-V – 3-х мерное евклидовое пространство.

Покажем, что система аксиом Вейля является непротиворечивой.

Непротиворечивость системы аксиом Вейля 3-х мерного евклидового пространства.

К любой системе аксиом пред след требования: непротиворечивость, независимость, полнота. Непротивор главное, т.к. все аксиомы получ далее должны удовл ему.

Система аксиом называется непротиво­речивой, если существует база, на которой можно задать рассматри­ваемую структуру рода Т. Чтобы доказать непротиворечивость систе­мы аксиом, достаточно построить какую-либо интерпретацию этой системы аксиом. При построении интерпретации мы должны исполь­зовать «достаточно надежные» понятия, относительно которых у нас есть уверенность, что их система внутренне непротиворечива. Только в этом случае можно утверждать, что наша система аксиом А₁,А₂, …, А_n внутренне непротиворечива, и, значит, в теории Г(Т) мы не получим двух теорем, отрицающих одна другую, как бы далеко мы ни развивали эту теорию.

Вопрос о внутренней непротиворе­чивости системы аксиом может быть решен только средствами мате­матической логики.

При построении интерпретаций систем аксиом, определяющих структуры, изучаемые в геометрии, мы используем различные число­вые множества, считая «наиболее надежными» понятия, взятые из арифметики вещественных чисел. Поэтому при исследовании непро­тиворечивости системы аксиом А₁,А₂, …, А_n, не прибегая к средствам математической логики, мы в лучшем случае можем прийти к ут­верждению такого вида: система аксиом А₁,А₂, …, А_n непротиворечи­ва, если непротиворечива арифметика вещественных чисел.

Теорию действит.чисел будем считать непротиворечивой. Из объектов этой теории необходимо построить модель, т.е. основным отношениям придать конкретный смысл.

Докажем сначала непротиворечивость 3-х мерного евклид.пр-ва (I-IV).

Под вектором будем понимать упорядоченную тройку вещественных чисел, взятых в определ.порядке и заключенных в фигурную скобку( {x₁,x₂,x₃}).

Точка – это упорядоченная тройка вещественных чисел, заключенных в круглую скобку(M(x₁,x₂,x₃)).

В скобках записана координата точки или вектора.

Основные отношения: дано {x₁,x₂,x₃}, {y₁,y₂,y₃}.

1. + = { x₁+y₁, x₂+y₂, x₃+y₃}

2. ={ x₁, x₂, x₃}

3. = { x₁ y₁+ x₂ y₂+ x₃ y₃}

4. A(a_i), B(b_i), {x₁,x₂,x₃}

Пара AB и вектор инцендентны, если = - , =1,2,3

{a₁,a₂,a₃}, {b₁,b₂,b₃}, {c₁,c₂,c₃}

I₁. ( ={ ) ; ) ; ) }= { +( +( +( ) – выполняется.

I₂ –вып-ся

I₃ : ,

I₄ : , + = {

III₁: покажем, что векторы линейно зависимы,т.е.

Разложение векторов в базис однозначно => => лин.независ.

III₂. {a₁,a₂,a₃}, {b₁,b₂,b₃}, {c₁,c₂,c₃}, {d₁,d₂,d₃}

=> число неизвестных больше числа

уравнений => имеет бесчисл.мн-во решений =>лин.завис.

IV. {x₁,x₂,x₃}, {y₁,y₂,y₃}.

IV₁: , {

IV₂- вып-ся(ассоциат.закон)

IV₃ – вып-ся (по дистриб.закону)

IV₄: ={ => вып-ся

= => { => =

V. 1-4–вып-ся

V₃. A(a₁, a₂, a₃), {x₁,x₂,x₃}

( B) ( )

{b₁-a₁, b₂-a₂, b₃-a₃} – вып-ся

V₄. A(a_i), B(b_i), C(c_i), i=1,2,3

{b₁-a₁, b₂-a₂, b₃-a₃}, {c₁-b₁, c₂-b₂, c₃-b₃}, {c₁-a₁, c₂-a₂, c₃-a₃}

{c₁-a₁, c₂-a₂, c₃-a₃}= ч.т.д

След-но все 18 аксиом – справедливые теоремы теории действ-х чисел. Мы построили модель.

Определение прямых, лучей, отрезков, плоскостей.

Из анализа аксиоматики Вейля видно, что она в основном явл-ся векторной.

A, B – точки,

Опр. Множ-во точек M таких, что коллинеарен , т.е. будем называть прямой (

(AM) ={M: , где , A – нач.точка, - направляющий вектор прямой.

Если => M совпадает с A; Если => M=B.

Пусть даны 3 точки: M₁( M₂( M₃(

Опр. Буд.гов., что M₂ лежит между M₁ и M₃, если M₁ M₂ M₃ три различные точки и .

Имея понятие «между» мож.напис.понятие отрезка

Опр. Отрезком буд.наз-ть мн-во точек, сост.из M₁,M₃ и точек, лежащих между M₁ и M₃; M₁ и M₃ – концы отрезка

Опр. Отрезком AB явл-ся мн-во точек, значение параметра которых принадл.[0,1].

Опр. Лучом [AB) буд.наз-ть мн-во точек, знач-е параметра кот-х приним.лишь положит.знач-е.

Свойства прямой:

1. Н а прямой бесчисл.мн-во точек

2. Прямая определ-ся однозначно любыми 2-мя ее разл.точками

Пусть даны 3 разл.точки,не леж.на одной прямой.

Опр. мн-во точек M таких, что = u буд.наз.плоскостью (u,v

(A,B,C)={M: = u ; u,v }

если u,v =0 => M совпад.с A; если u=1 ,v =0 => M совпад. с B; если u =0,v =1 => M совпад.с C.

u,v – параметры, фиксир.точку М.; А-нач.точка; М-текущая точка

св-ва плоскости:

1. А,В,С принадл.пл-ти

2. На пл-ти сущ-т бесчисл.мн-во точек, среди них хотя бы одна тройка точек не лежит на одной прямой

3. Пл-ть вполне опред-ся любыми 3-мя ее неколлин-ми точками

опр. Если в ур-ии пл-ти u , v-произв.зн-е, то получ.полуплоскость с границей АС. (АС, В)

опр. Пересечение полуплоскостей (АС, В) и (АВ,С) буд. наз-ть углом ВАС

- векторно-парам.ур-е пл-ти.