1.Функция распределения системы двух случайных величин (совместная функция распределения).

Пусть дан вектор с компонентами ξ и η (ξ,η). Тогда вероятность попадания СВ в пространство ξ≤х, η≤у:

F(x,y)=p(ξ≤x,η≤y)

Свойства функции распределения:

1)

2)

3)

4)

5)

6) F(C)-F(D)-F(B)-F(A)

p((ξ,η)€R)=F(b,d)-F(a,d)-(F(b,c)-F(a,c))

2. Системы двух свдт. Матрица распределения. Условная вероятность.

СВДТ определяется законом распределения, который записывается в виде матрицы распределения и имеет вид:

	y1	y2	...	ym	ξ
x1	p11	p1m	…	p1m	p1ξ
x2	p21	p2m	…	p2m	p2ξ
…	…	…	…	…	...
Xn	pn1	pn2	…	pnm	Pnξ
η	p1η	p2η	…	pmη	1

Условной вероятностью называется отношение вероятности совместного появления событий и при условии, что событие произошло. Тогда, по формуле условной вероятности:

3.Непрерывная система двух СВ. Теорема Фубини. Свойства плотности распределения.

Плотность распределения системы двух СВНТ.

Свойства плотности распределния:

1. f(x,y)≥0

2. Вероятность попадания в прямоугольник:

3) Условие нормировки:

4)

5)

4. Условный закон распределения для СВНТ.

Вероятность события х при условии, что у выполнено называется отношение:

Аналогично:

Если СВ независимы, то:

5. Математическое ожидание СВ.

6. Дисперсия.

7. Ковариация. Корреляционный момент для ССВНТ и ССВДТ.

ССВДТ:

ССВНТ:

Корреляция:

1. Если СВ независимы, то корреляция=0

2. Если между СВ существует линейная связь, то их корреляция =+ -1

3. Уравнение линейной связи имеет вид:

«Предельные теоремы теории вероятностей»

1.Неравенство Чебышева. Неравенства Маркова.

-неравенства Маркова

Следствие 1

Следствие 2

2. Закон больших чисел для одинаково распределённых СВ с конечной дисперсией.

Первая теорема Чебышева.

Теорема Бернулли

Теорема Пуассона

Центральная предельная теорема

Пусть СВ ξ1,ξ2 и т.д. независимы, одинаково распределены, имеют конечные мат.ож., одинаковую для всех и дисперсию, равную σ² для всех независимых СВ. Тогда, среднее значение всех СВ подчиняется нормальному закону распределения с мат.ож и дисперсией :

3. Основные понятия теории случайных процессов.

Опр.1 СП наз-ся семейство СВ, заданных на одном и том же вероятностном пространстве, зависящих от параметра t-время

Опр.2 Случайный процесс с дискретным временем

СП с непрерывным временем

Опр.3 Неслучайная функция времени - траектория или реализация СП при фиксированном .

Опр.4 Сечение СП наз. в момент времени

Опр.5 Одномерный закон распределения СП наз. функция .

Опр.6 Математическим ожиданием СП наз.

Опр.7 Дисперсия СП наз. неслучайная функция .

Опр. 8 Средним квадратическим отклонением СП наз. неслучайная функция

.

Опр. 9 Ковариационной (корреляционной, автоковариационной, автокорреляционной) функцией СП наз. неслучайная функция R _ξ (t₁,t₂)

Опр. 10 Нормированной ковариационной функцией СП ξ(t) наз. неслучайная функция

Марковская цепь

Первый способ представления вероятности перехода

«Математическая статистика».