1) Определение случайной величины.

ξ	Х1	Х2	….	Xn
р	p1	p2	….	pn

Функция, которая ставит в соответствие каждому элементарному событию ω число ξ, равное ξ(ω), называют случайной величиной. Если случайная величина принимает дискретные значения, т.е. либо конечное множество чисел, либо счетное бесконечное множество чисел, каждому числу можно поставить в соответствие натуральное число, то случайная величина называется случайной величиной дискретного типа (СВДТ). Если же случайная величина принимает непрерывное значение на любом конечном или бесконечном интервале (a,b), то случайная величина называется случайной величиной непрерывного типа (СВНТ).Описание СВДТ производится через т.н. закон распределения.

свойства:

1)рк ≥ 0

2)∑рк=1

2.Функция распределения случайной величин.

Функцией распределения случайной величины называют функцию F(x),определяющую вероятность того что случайная величина ξ в результате испытания примет значение, меньшее х, т.е. F(x)=p(ξ ‹ x)

p(ξ ‹ x)–вероятность всех значений ξ ‹ x.

Свойства:

0 ≤ F(x) ≤ 1

F(-∞)=0

F(+∞)=1

x1< x2 ,т.е. F(x1) ≤ F(x2)- неубывающая функция.

P(x1 ≤ ξ ≤ x2)=F(x1) – F(x2)

F(x)=F(x – 0 )

3. Плотность распределения св непрерывного типа

Если существует функция f(x), интеграл от которой в промежутке от - ∞ до х дает функцию распределения F(x), то эта функция f(x) называется плотностью распределения СВНТ

Свойства.

f(x) = F`(x) 2) f(x) ≥ 0

p(x1 ≤ ξ ≤ x2) =

3) - условие нормировки.

4) p(ξ = x) = 0

4.Числовые характеристики случайных величин.

4.1. Математическое ожидание.

Вероятностный смысл математического ожидания – наиболее вероятное событие в данном случайном процессе.

для СВДТ

М(ξ) =

для СВНТ

Свойства математического ожидания:

М(а·ξ – b) = a·M(ξ) + b;

M(ξ1 + ξ2) = M(ξ) + M(ξ);

M(ξ1·ξ2) = M(ξ1)·M(ξ2)

4.2..Дисперсия случайной величины

D(ξ)=М[ξ – M(ξ)]2 (М(М(ξ)) = М(ξ)

- СВДТ.

D()=

-СВНТ.

Свойства:

1) D(С)=0.

2) D(С·) = С2·D()

3) D(а· + b)=а2·D()

4) D() = М(2) - М2()

5) D(1 + 2) = D(1) + D(2)

6) D(1 - 2) = D(1) + D(2).

4.3.Среднеквадратичное отклонение

(2.7)

Свойства:

σ(С) = 0 2)σ(С·) = С·σ()

3)σ(1+2) =

ξ	0	1	….	m
p			…

Если случайные события ξ1, ξ2, …, ξn независимы и имеют одно и тоже среднеквадратичное отклонение, то:

5. Моменты распределения случайных величин

5.1 Начальный момент распределения СВ ξ

Начальным моментом порядка k СВ ξ называют математическое ожидание величины :

В частности и

5.2 Центральный момент порядка m.

Центральным моментом порядка m случайной величины  называют математическое ожидание величины :

В частности,

Соотношения, связывающие начальные и центральные моменты:

5.3 Коэффициент ассиметрии (скошенности) распределения.

Ассиметрией теоретического распределения называют отношение центрального момента третьего порядка к кубу среднего квадратического отклонения:

4. Эксцесс (островершинность) распределения.

Эксцессом теоретического распределения называют характеристику, которая определяется равенством

Мода СВНТ.

Для непрерывной величины модой называется такое ее значение для которого ф-ция плотности распределения имеет максимальную величину.

Мода СВДТ.

Модой Мо называют варианту, которая имеет наибольшую частоту.

Медиана СВНТ: квантиль

Квантиль – это решение уравнения F(x)=p, называется квантилью порядка р. Медина СВ есть решение уравнения F(x)=0.5, поэтому медиана является квантилью порядка ½.

Медианой (Ме) случайной величины называется такое ее значение для которого окажется ли случайная величина меньше этого значения.

Для непрерывной случайной величины медиана это абсцисса точки в которой площадь под кривой распределяется пополам.