6. Типичные распределения св дискретного типа, используемые в радиотехнике и связи.

6.1Вырожденное распределение р(ξ=а)=1 математическое ожидание дисперсия 6.2 Гипергеометрическое распределение

6.3 Геометрическое распределение:

ξ	1	2	…	n
p	q·p	q2·p	…	qn·p

6.4 Биноминальное распределение: dbinom pbinom

ξ	0	1	…	n
p			…

М(ξ) = n·p D(ξ) = n·p·q

6.5 Распределение Пуассона:

Простейший поток

Распределение Пуассона имеет вид:

ξ	0	1	…	k
p			…

М(ξ) = λ

D(ξ) = λ ,т.е. вероятностный смысл λ – математическое ожидание и дисперсия.

7. Типичные распределения непрерывного типа, используемые в радиотехнике и связи.

7.1РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

П лотность равномерного распределения:

0, если x<=a, x>=b

f(x)=

, если x € (a,b)

Ф ункция равномерного распределения:

0, если x<=a

, если a<x<=b

F(x)=

1, если x>b

Среднеквадратическое отклонение:

Вероятность попадания в промежуток:

7.2 ПОКАЗАТЕЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

(ЭКСПОТЕНЦИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ)

Найдем функцию распределения:

1) x<=0 F(x)=0

2) x>0

Математическое ожидание:

Начальный момент второго порядка:

Дисперсия:

Среднеквадратическое отклонение:

Коэффициент ассиметрии:

Коэффициент эксцесса:

m₃ = 2/λ³ m₄ = 9/λ⁴

Вероятность попадания на промежуток (α, β) или (α, β] или [α, β].

Правило трех сигм для показательного распределения.

7.3 Нормальное распределение (закон Гаусса)

7.3.1 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ ИНТЕГРАЛ ЭЙЛЕРА

ФУНКЦИЯ ЛАПЛАСА

интеграл вероятности Функция ошибок Гаусса

Свойства Ф₁ (х)

1. Ф₁ (0) = 0

2. Ф₁ (- х) = - Ф(х)

3)

Доказательство:

7.3.2 ПЛОТНОСТЬ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Докажем, что это действительно является плотностью. Должно быть выполнено условие нормировки для плотности.

7.3.3 ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Полученный интеграл делим на два интеграла:

Получается:

7.3.4. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ.

М(ξ)=m

7.3.5 ДИСПЕРСИЯ.

Вероятностный смысл параметра σ – это среднеквадратическое отклонение.

7.3.6 МОДА, МЕДИАНА.

Медиана – это решение уравнения F(x)=0.5.

Мода Мо=m (из чертежа)

Единственный закон распределения, у которого равны мат.ож., мода и медиана это нормальный закон.

7.3.7. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ МОМЕНТЫ ЛЮБОГО ПОРЯДКА.

μ_K(ξ) = (k-1)σ²μ_k-2 – рекурентная формула

μ₀=1 μ₁ =0 μ₂ = σ² μ₃ = 0 μ₄ = 3σ⁴

условия нормировки.

Коэффициент ассиметрии:

As=0

Коэффициент эксцесса:

Ex=0

7.3.8. ВЕРОЯТНОСТЬ ПОПАДАНИЯ НА ПРОМЕЖУТОК (α,β)

вероятность попадания на симметричный относительно математического ожидания промежуток

7.3.9. КВАНТИЛИ.

Квантиль уровня р:

F(x)=p

«Случайные векторы(системы случайных величин)»