Пример. Парето-оптимальное равновесие как результат кооперации игроков.

«Два начальника».

Имеются два игрока-начальника. У них есть один подчиненный. Каждый из начальников дает подчиненному задание и может как разрешить выполнять свое задание совместно с заданием противника (другого начальника), так и потребовать выполнения своего задания в первую очередь. Назовем первый выбор «сотрудничество», а второй – «эгоистическое поведение». Если задания выполняются совместно, то каждый из начальников получает по 10 единиц выигрыша. Если только один из начальников потребовал первоочередного выполнения своего задания, он получает 15 единиц выигрыша, времени на выполнение задания второго начальника у подчиненного не остается и второй начальник несет убытки в размере 5 единиц. Если оба начальника потребовали выполнения своего задания в первую очередь, подчиненный отказывается работать вообще, и начальники получают нулевые выигрыши. Выигрыши игроков можно представить в виде следующей матрицы:

[ эгоист сотр]

эгоист [ 10 ; 10 -5 ; 15 ]

сотр [ 15 ; -5 0 ; 0 ] (игра является биматричной).

Здесь паре чисел в каждой из четырех ячеек матрицы соответствуют выигрыши первого и второго игрока при том или ином их поведении. Строки соответствуют выбору первого игрока, столбцы – второго.

Эта классическая игра широко известна под другим названием – «дилемма заключенного».

Игра «Два начальника» – дискретная однократная некооперативная игра двух лиц с полной информированностью и ненулевой суммой.

Также можно заметить, что, в отличие от предыдущей игры, при любых стратегиях игроков сумма их выигрышей в результате

Концепции решения кооперативных игр

В теории кооперативных игр, также как и вообще в теории игр, не существует единой концепции решения. Это связано с тем, что на начальной стадии развития теории были разработаны достаточно простые модели игр, которые легко поддавались анализу, и, соответственно, простые концепции решений, такие, как C-ядро и НМ-решения (см. ниже). По мере развития теории встал вопрос о практической применимости полученных результатов. Для того чтобы приблизить теорию к примерам игр, встречающихся в жизни, были разработаны более сложные модели, например, игры с нетрансферабельной полезностью, игры «в разбиениях» и др. Параллельно появлялись как обобщения понятий решения на эти более сложные модели, так и новые концепции решений – см. ниже.

Некоторые концепции решения пришли в теорию игр из теорий общественного благосостояния и кооперативного выбора. Темой исследования этих теорий является задача выбора коллективных решений. Понятно, что коллективный выбор должен быть (или желательно, чтобы был) единственным. Для сужения круга возможных решений эти теории пользуются аксиоматическими предположениями о стратегии принятия коллективных решений. В этих аксиомах широко используется понятие «справедливого» распределения благ (то есть распределения выигрышей, полезности и т.д.).

С понятием справедливости в условиях принятия решения обществом связана отдельная проблематика. Аксиоматический подход предполагает, что при исследовании ситуации выбора, для того, чтобы обосновать выбор общества, исследователь делает предположения, более или менее очевидные, о моральных установках данного общества, и, тем самым, определяет, что в данном обществе понимается под справедливостью. Парадокс состоит в том, что многие соответствующие здравому смыслу по отдельности предположения оказываются противоречащими друг другу. На сегодняшний момент в науке не существует единого мнения о том, что понимать под справедливостью. Двумя основными концепциями справедливого распределения благ являются эгалитаризм и утилитаризм. Эгалитаризм утверждает, что при распределении благ в первую очередь следует обращать внимание на полезность наиболее «обделенных» членов общества. Утилитаризм же считает справедливым «эффективное» распределение, приводящее к наибольшему значению суммы полезностей членов общества. Применение этих концепций к теории кооперативных игр приводит к понятиям N-ядра и вектора Шепли соответственно.

Все концепции решения кооперативных игр, определяющие в качестве решения единственное распределение полезности между игроками, называются значениями игры.

C-ядро

Если игроки пришли к такому дележу x выигрыша максимальной коалиции, что не существует дележа, доминирующего дележ x, то дележ x устойчив в том смысле, что никакой коалиции S не выгодно отделяться от коалиции N и делить между членами этой коалиции выигрыш v(S).

Определение: Множество недоминируемых дележей игры называется ее C-ядром. Множество дележей, принадлежащих C-ядру, считается решением кооперативной игры.

Теорема. Для того чтобы дележ x принадлежал C-ядру, необходимо и достаточно выполнения для всех SN неравенств

(24) 





S i

i x S v ) ( .

Доказательство очевидно. 

Эта теорема дает удобный способ нахождения C-ядра путем

решения системы неравенств. Решением этой линейной системы

является выпуклый многогранник в пространстве | |N . Можно

найти его крайние точки и описать любой дележ из ядра, как

взвешенную линейную комбинацию крайних точек.

Пример 18. «Нахождение C-ядра игры трех лиц».

Рассмотрим игру трех лиц с характеристической функцией

v(S): 5 . 0 }) 2 , 1 ({ , 0 }) 3 ({ }) 2 ({ }) 1 ({ v v v v , , 6 . 0 }) 3 , 1 ({ v

7 . 0 }) 3 , 2 ({ v , 1 ) ( N v . Условие на дележи, принадлежащие C-

ядру, задается системой неравенств:

(25)























. 1

7 . 0

6 . 0

5 . 0

3 2 1

3 2

3 1

2 1

x x x

x x

x x

x x

Множество дележей игры трех лиц можно изобразить на

симплексе (см. рисунок 9), то есть на треугольнике, задаваемом в

3 неравенствами xi 0, i = 3 , 1 , и равенством 1 ) ( 



N v x

N i

i

(изображен на рисунке 9 серым цветом).

Неравенства (25) делят симплекс на области, границы кото-

рых параллельны одной из его сторон. С-ядро выделено на рисун-

ке черным цветом. В зависимости от вида характеристической

функции оно может быть множеством трех-, четырех-, пяти- и

шестиугольной формы, может вырождаться в линию или точку.

Оно может быть и пустым множеством. 

Рис. 9. С-ядро в игре с тремя игроками

Итак, C-ядро существует не для всех игр. Например, все коо-

перативные игры с постоянной суммой имеют пустое C-ядро.

Необходимым и достаточным условием существования не-

пустого ядра является свойство сбалансированности игры.

Определение 30: Максимальной коалицией называется коали-

ция, состоящая из всех игроков.

Определение 31: Собственной коалицией называется коали-

ция, отличная от максимальной коалиции.

Определение 32: Для данного множества игроков N сбаланси-

рованным покрытием называется такое отображение d () из 2N\{N}

в [0, 1], что

(26) 1

:



S i S

S d для всех игроков i,

причем суммирование в (27) ведется по всем собственным коали-

циям, содержащим игрока i.

Теорема 10 [7, 8]. С-ядро игры (N, v) не пусто тогда и только

тогда, когда для любого сбалансированного покрытия d () выпол-

нено неравенство

122