Теория игр

Теорией игр называется математическая теория принятия решения в конфликтных ситуациях.

Простейшие модели принятия решений рассматриваются в курсах математического анализа и оптимизации. В этих моделях лицо, принимающее решения (ЛПР), выбирает свое действие из некоторого множества стратегий (например, множество планов производства в задаче линейного программирования). Задана целевая функция, которая отражает интересы ЛПР и зависит от выбранной им стратегии (например, функция прибыли, зависящая от назначенного плана производства). Задача принятия решений в этой постановке состоит, как правило, в том, чтобы найти стратегию, доставляющую максимум целевой функции.

Отличие конфликтной ситуации в том, что решение принимается не одним индивидуумом, а несколькими участниками, и функция выигрыша каждого индивидуума зависит не только от его стратегии, но также и от решений других участников. Математическая модель такого рода конфликта называется игрой, а участники конфликта - игроками.

В рамках теории игр существуют два основных направления. Теория кооперативных игр изучает принятие решений в предположении, что существует механизм, обеспечивающий выполнение совместно принятого решения. При этом основная проблема - указать множество взаимовыгодных решений с учетом интересов и самостоятельных возможностей отдельных игроков и коалиций, то есть групп совместно действующих игроков. Если это множество включает несколько вариантов решения, то возникает также задача выработки критерия оптимальности, который позволил бы найти единственное, наилучшее в некотором смысле решение. В настоящем пособии основные понятия и некоторые результаты теории кооперативных игр изложены в § 15.

Некооперативные игры отражают ситуации, в которых игроки действуют самостоятельно, независимо друг от друга, и если какие-то соглашения заключаются, то они не являются обязывающими: каждый игрок может отклониться от договоренности. Таким играм уделяется основное внимание в данном пособии.

Если игроков двое, а интересы их противоположны, то игра называется антагонистической. Типичными примерами антагонистических игр являются шахматы, шашки, "крестики-нолики", а также азартные игры типа "орлянки". При проведении военных операций нападающая сторона обычно стремится нанести противнику максимальный ущерб, а противник стремится этот ущерб минимизировать. Поэтому в таких случаях военную операцию можно изучать как антагонистическую игру.

В некоторых задачах целевая функция ЛПР зависит от неопределенного фактора (например, погодных условий). Рассчитывая на "худший случай", предполагают, что этот фактор - стратегия противника, имеющего противоположные интересы. Возникает игра против "природы", также относящаяся к антагонистическим играм.

Экономика и социальная сфера дают многочисленные примеры неантагонистических игр. Пусть несколько фирм конкурируют на товарном рынке и заинтересованы в увеличении своих доходов. Цена на продукцию определяется спросом на товар и количеством выпущенной продукции. Теория игр предписывает фирмам-игрокам назначать выпуск продукции в таких количествах, при которых каждому отдельно взятому игроку было бы невыгодно отклоняться от предписанного объема. Соответствующий набор стратегий называют равновесием по Нэшу. Другим примером являются иерархические игры, отражающие взаимодействие между верхним и нижним звеньями управления (начальником и подчиненным, заказчиком и производителем продукции и т.п.). Здесь обычно интересуются не равновесием в игре, а наилучшим гарантированным результатом, который может себе обеспечить игрок-лидер, первым сообщающий свою стратегию другому игроку. Значительное внимание в указанных главах уделяется также решениям по доминированию.