5. Эффективная годовая процентная ставка

Различными видами финансовых контрактов могут предусматриваться различ­ные схемы начисления процентов. Как правило, в этих контрактах оговаривается номинальная процентная ставка, обычно годовая. Эта ставка, во-первых, не отра­жает реальной эффективности сделки и, во-вторых, не может быть использована для сопоставлений. Для того чтобы обеспечить сравнительный анализ эффектив­ности таких контрактов, необходимо выбрать некий показатель, который был бы универсальным для любой схемы начисления. Таким показателем является эф­фективная годовая процентная ставка г_е, обеспечивающая переход от Р к FV„ при заданных значениях этих показателей и однократном начислении процентов.

Общая постановка задачи может быть сформулирована следующим образом. Задана исходная сумма Р, годовая процентная ставка (номинальная) г, число на­числений сложных процентов т. Этому набору исходных величин в рамках одно­го года соответствует вполне определенное значение наращенной величины FV|. Требуется найти такую годовую ставку г_е, которая обеспечила бы точно такое же наращение, как и исходная схема, но при однократном начислении процентов, т. е. при т = 1. Иными словами, схемы {Р, FVp г,т> 1} и {Р, FVy ,r_e,m — l} должны быть равносильными.

Из формулы (6.10) следует, что в рамках одного года

Из определения эффективной годовой процентной ставки следует, что

В левой части каждого из двух уравнений — одна и та же величина, а потому, приравнивая правые части уравнений, находим формулу взаимосвязи эффектив­ной и номинальной ставок

(6.18)

Из формулы (6.18) следует, что эффективная ставка r_f зависит от количества внутригодовых начислений, причем с ростом т она увеличивается. Кроме того, с помощью (6.18) для каждой номинальной ставки г можно найти соответствую­щую ей эффективную ставку; две эти ставки совпадают лишь при т = 1 Именно ставка г_е является критерием эффективности финансовой сделки и может быть использована для пространственно-временных сопоставлений.

Пример

Предприниматель может получить ссуду на условиях: 1) либо ежемесячного начисления процентов из расчета 26% годовых, 2) либо полугодового начисления процентов из расчета 27% годовых. Какой вариант более предпочтителен?

Решение

Относительные расходы предпринимателя по обслуживанию ссуды могут быть определены с помощью расчета эффективной годовой процентной ставки. Чем она выше, тем больше уровень расходов. По формуле (6.18)

вариант (1):

вариант (2):

Таким образом, вариант (2) является более предпочтительным для предпри­нимателя. Необходимо отметить, что принятие решения не зависит от величины кредита, поскольку критерием является относительный показатель — эффективная ставка, а она, как следует из формулы (6.18), зависит лишь от номинальной ставки и количества начислений.

Понимание роли эффективной процентной ставки чрезвычайно важно для фи­нансового менеджера. Дело в том, что принятие решения о привлечении средств (например, банковской ссуды) на тех или иных условиях делается чаще всего ис­ходя из приемлемости предлагаемой процентной ставки, которая в этом случае ха­рактеризует относительные расходы заемщика. В рекламных проспектах (непроиз­вольно или умышленно) внимание на природе ставки обычно не акцентируется, хотя в подавляющем числе случаев речь идет о номинальной ставке, которая мо­жет весьма существенно отличаться от эффективной ставки. Рассмотрим простей­ший пример.

Пример

Рассчитать эффективную годовую процентную ставку при разной частоте на­числения процентов, если номинальная ставка равна 10%.

Решение

По формуле (6.18) имеем:

Смысл данных очевиден. Эффективность операции характеризуется не номинальной (т. е. объявленной) ставкой г, а соответствующей ей эффективной ставкой г_Р, поскольку, в зависимости от частоты начисления, сумма уплачиваемого или по­лучаемого вознаграждения (т. е. суммы начисленных процентов) будет меняться. Благодаря этому можно в известной степени вуалировать финансовые договоры, как об этом уже упоминалось в конце предыдущего раздела. Из таблицы видно, что только в случае однократного (в данном случае годового) начисления процен­тов номинальная и эффективная ставки совпадают. Если, например, предусматри­вается ежедневное начисление процентов, то для заемщика реальные затраты (плата за привлеченный капитал) составят не объявленные 10%, а 10,52%, т. е. бу­дут гораздо выше.

Различие между двумя ставками может быть гораздо более разительным при заключении некоторых специальных кредитных договоров, например, при оформ­лении кредита на условиях добавленного процента. Сущность этого и подобных договоров будет подробно рассмотрена в гл. 22.

Математически можно показать, что при т > 1 справедливо неравенство r_t > г, которое следует и из финансовых соображений.

В финансовых соглашениях не имеет значения, какую из ставок указывать — эффективную или номинальную, поскольку использование как одной, так и другой дает одну и ту же (с любой точностью приближения) наращенную сумму. В США в практических расчетах применяют номинальную ставку, следовательно, формулу (6.10). В европейских странах, как правило, вначале определяют эффективную ставку г_е, соответствующую г, затем пользуются формулой FV_n = Р{ 1 + ^ .

Из формулы (6.18) следует, в частности, соотношение для определения номи­нальной ставки г, если в контракте указаны эффективная годовая процентная ставка ?v и число начислений сложных процентов т:

(6.19)

Пример

Определить номинальную ставку, если эффективная ставка равна 18% и сложные проценты начисляются ежемесячно.

Решение

Поскольку г_е = 0,18 и т — 12, то:

Таким образом, ежегодное начисление сложных процентов по ставке 18% го­довых дает тот же результат, что и ежемесячное начисление сложных процентов по ставке 16,67%. Иными словами, эффективной ставке 18% годовых соответству­ет номинальная ставка 16,67% годовых с ежемесячным начислением процентов.