2. Оценка бессрочного аннуитета

Аннуитет называется бессрочным (Perpetual Annuity), если денежные поступ­ления продолжаются довольно длительное время. Математически это означает, что п -» ». Характерным примером бессрочного аннуитета являются консоли — выпускаемые правительствами некоторых стран облигации, по которым проводят регулярные купонные выплаты, но которые не имеют фиксированного срока. В за­падной практике к бессрочным относятся аннуитеты, рассчитанные на 50 лет и более. Бессрочный аннуитет также называют вечной рентой.

В этом случае прямая задача (определение будущей стоимости аннуитета) не имеет смысла, однако обратная задача (определение дисконтированной стоимо­сти аннуитета) имеет решение. Поток платежей в постоянном бессрочном аннуи­тете при одном денежном поступлении А за период (например, равный году), яв­ляющийся базисным для начисления процентов по ставке г, представляет собой

бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом и зна­менателем Для бессрочного аннуитета постнумерандо, используя формулу

для определения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии или переходя в (6.36) к пределу при получим

Отсюда следует, что дисконтированная стоимость бессрочного аннуитета по­стнумерандо находится по формуле

Из формул (6.39) и (6.40) следует, что дисконтированная стоимость бессрочно­го аннуитета пренумерандо может быть найдена по формуле

Формула (6.40) показывает, что поток даже с неограниченным числом плате­жей имеет конечную приведенную стоимость. С финансовой точки зрения это по­нятно, поскольку деньги, которые поступят через много лет, сейчас мало что стоят (а при высокой инфляции практически ничего не стоят). Эта же ситуация прояв­ляется при сравнении коэффициентов дисконтирования бессрочного аннуитета и аннуитетов большой продолжительности. Рассмотрим значения FM4 (г, и) при г = 10%.

Из таблицы видно, что при продолжительности аннуитета, превышающей 50 базисных периодов (например, лет), коэффициенты дисконтирования аннуите­та незначительно отличаются друг от друга. Заметим также, что с ростом процент­ной ставки г величина срока, начиная с которого коэффициенты FM 4 (г. п) пере­стают существенно отличаться друг от друга, уменьшается (например, при г - 15% такой срок равен уже 40 периодам). Таким образом, при больших сроках аннуитета и большом уровне процентной ставки для определения приведенной стоимости срочного аннуитета можно воспользоваться формулой для определения дисконтированной стоимости бессрочного аннуитета. Полученный приблизитель­ный результат будет не слишком отличаться от точного значения.

Формула (6.40) используется для оценки целесообразности приобретения бес­срочного аннуитета, если известен размер денежного поступления за период. В ка­честве г обычно принимается гарантированная процентная ставка (например, про­цент, предлагаемый государственным банком).

Дисконтированная стоимость бессрочного аннуитета пренумерандо определя­ется с помощью дисконтированной стоимости бессрочного аннуитета постнуме­рандо по формуле (6.41)

т. е. мы получили очевидное финансовое утверждение: дисконтированная стои­мость бессрочного аннуитета пренумерандо отличается от таковой для аннуитета постнумерандо на величину первого платежа.