3.4 Проекция силы на ось
Ввиду особой важности для решения задач статики напомним известное из курса векторной алгебры определение проекции вектора на ось, в нашем случае - вектора F.
Проекцией вектора F = AB (рис. 12) на ось m называют отрезок АmВm оси m, заключенный между двумя плоскостями, перпендикулярными оси m и проходящими через начало и конец вектора F. Точка Аm – начало проекции, точка Вm – конец проекции.
Рисунок 12 – Проекция силы на ось |
Рисунок 13 – Правило силового треугольника
|
Если направление от начала проекции Аm к концу проекции Вm совпадает с положительным направлением оси, то величину проекции берут со знаком плюс, а в противоположном случае – со знаком минус. Данное определение справедливо при любых расположениях вектора F и оси m в пространстве. На рис. 12 проекция силы F на ось m – Fm положительна.
Проведем ось m1, параллельную оси m. Так как отрезок ААm= СВm, а плоскости I и II перпендикулярны оси m, то АС=АmВm=Fm. Следовательно, при определении проекции силы на ось можно силу или ось переносить параллельно так, чтобы получились пересекающиеся прямые, а силу считать приложенной в точке пересечения.
Величину проекции силы на ось при всех возможных положениях силы можно определить по единой формуле Fm=Fcos, где - угол между направлением вектора силы и оси m. В практических расчетах удобнее умножать модуль силы на косинус ее острого угла с осью, а знак величины проекции определять из чертежа.
Равнодействующую двух сил можно получить из правила силового треугольника. Из правила параллелограмма отрезок АВ (рис. 13) равен и параллелен отрезку ОС. Поэтому, если мысленно отложить вектор силы F2 от конца вектора силы F1 (точка А), то равнодействующая R имеет начало в точке О, а конец - в точке В. Получили правило силового треугольника.
Аналогично, чтобы сложить систему сил, приложенных в одной точке, необходимо от конца первой силы отложить вектор второй силы, от конца второй силы отложить вектор третьей силы и т. д. Вектор равнодействующей R имеет начало в начале первой силы и конец в конце последней. Вектор R, замыкающий силовой многоугольник, называют векторной суммой сил.
Система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке, называется системой сходящихся сил. Система сходящихся сил, действующих на абсолютно твердое тело, всегда может быть заменена одной сосредоточенной силой – равнодействующей, проходящей через точку пересечения линий действия этих сил. Такая равнодействующая называется главным вектором системы сходящихся сил.
3.5 Момент силы. Пара сил
Действие силы на тело характеризуется ее численным значением (модулем), линией действия и направлением. Кроме того, в случае закрепленного тела (в одной или в нескольких точках) вводится понятие момента силы относительно точки.
Рисунок 14 –
Момент силы F относительно точки О
Момент силы относительно точки характеризует вращающее действие силы относительно этой точки. Его определяют как произведение силы F на длину перпендикуляра h, опущенного из этой точки на линию действия силы (рис. 14). Длину этого перпендикуляра называют плечом. Формулу для момента силы можно записать так: Moi = Fi hi , где индекс о обозначает точку, относительно которой определяют момент силы (центр момента), hi – плечо силы Fi .
Примем условно момент силы на рис. 15 положительным, если он стремится повернуть тело вокруг центра момента по ходу часовой стрелки, и отрицательным – против часовой стрелки. Тогда Mo1 = - F1h1, Mo2 =F2h2, Mo3 = 0. Момент силы F3 относительно точки о (Мо3) равен нулю, так как линия действия данной силы пересекает точку о.
Пара сил – это две равные по абсолютному значению параллельные силы, направленные в противоположные стороны и имеющие разные линии действия (рис. 16). Плоскость, в которой действует пара сил, называется плоскостью пары. Пара сил не имеет равнодействующей и может быть заменена только другой эквивалентной парой сил. Сумма проекций сил, образующих пару, на любую ось равна нулю. Момент пары равен произведению одной из ее сил на плечо.
Пара сил также сообщает телу вращательное движение, как и момент силы относительно точки.
Рисунок 15 – Момент сил F1, F2, F3 относительно точки о
|
Рисунок 16 – Эквивалентные пары сил
|
Часто пару сил изображают в виде изогнутой стрелки с обозначением момента (рис. 16). Такое упрощенное изображение оправдано тем, что пара сил характеризуется моментом, а не ее положением в плоскости. Но если необходимо определять не внешние силы, а внутренние в разных сечениях элемента, как это делается в сопротивлении материалов, то важен знак и место приложения пары сил.
Например, внутренние силы будут различны для балок, изображенных на рис.17, а, б.
Рисунок 17 – Замена пары сил сосредоточенным моментом:
а) вид изогнутой оси балки при нагружении двумя сосредоточенными силами;
б) вид изогнутой оси балки при нагружении сосредоточенным моментом