Особые точки. Особые решения

Если дифференциальное уравнение в некоторой области удовлетворяет всем условиям теоремы Пикара, то через каждую точку этой области проходит единственная интегральная кривая и тогда эти точки области называют обыкновенными.

Наряду с этими, рассматривают точки, через которые не проходит не одной интегральной кривой или проходит не единственная интегральная кривая. Такие точки называются особыми.

Интегральная кривая, сплошь состоящая из особых точек, называется особой интегральной кривой. Решение, графиком которого является особая кривая, называется особым решением.

Особое решение следует искать, выделяя такие совокупности точек, в которых нарушаются условия теоремы Пикара.

Из двух условий, при которых существует единственное решение задачи Коши первое условие (непрерывность правой части) нарушается гораздо реже чем второе условие (условие Липшица).

Вместо второго условия можно рассматривать более грубое условие ограниченности производной правой части по y, т.е.

Точки, в которых нарушается условие ограниченности производной можно определить из уравнения _.

Заметим, что условия теоремы Пикара являются лишь достаточными, но не необходимыми, потому не все точки, в которых нарушаются эти условия, являются особыми точками.

Поведение интегральных кривых в окрестности особой точки может быть весьма разнообразным.

Некоторые типы особых точек.1. Уравнение , интегральные кривые в этом случае представляют собой семейство парабол с вершиной в начале координат. Точка (0,0) является особой точкой и называется узлом.

2. Уравнение , интегральные кривые в этом случае представляют собой семейство прямых, проходящих через начало координат (отличие от предыдущего случая в том, что любая интегральная кривая в особой точке имеет свое направление). Точка (0,0) является особой точкой и называется дикритическим узлом.

3. Уравнение , интегральные кривые в этом случае представляют собой семейство гипербол, асимптотами которых служат оси координат x=0,y=0. Точка (0,0) является особой точкой и называется седловиной.

4. Уравнение , интегральные кривые в этом случае представляют собой семейство логарифмических спиралей вокруг начала координат. Точка (0,0) является особой точкой и называется фокусом.

5. Уравнение . Через саму особую точку (0,0) не проходит ни одной интегральной кривой. Точка (0,0) является особой точкой и называется центром. Интегральные кривые в этом случае представляют собой концентрические окружности.

Метод Пикара

Процесс нахождения решения по методу Пикара основан на использовании интегрального уравнения и сводится к построению последовательного приближения Пикара по формуле