Глава 4. Системы дифференциальных уравнений 82

Основные понятия и определения 82

Интегрирование нормальных систем дифференциальных уравнений методом исключения неизвестных. 85

Линейные системы дифференциальных уравнений 87

Свойства решений линейных однородных систем дифференциальных уравнений 87

Фундаментальная система решений линейной однородной системы дифференциальных уравнений 89

Теорема о структуре общего решения линейной однородной системы дифференциальных уравнений 91

Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений 93

Интегрирование линейных неоднородных систем дифференциальных уравнений методом вариации постоянных 96

Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 98

Контрольные вопросы 101

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 103

Введение

Решение многих задач естествознания и техники приводится к нахождению неизвестных функций, описывающих явления или процессы, когда известны соотношения, связывающие между собой эти функции и их производные. Такие соотношения называются дифференциальными уравнениями. Рассмотрим конкретный пример.

Пример. Рассмотрим процесс радиоактивного распада вещества, зная, что в соответствии с законом физики скорость распада отрицательна и пропорциональна массе не распавшегося на данный момент времени вещества– .

Установим вид дифференциального уравнения относительно неизвестной функции :

где a-параметр, независящий от времени, определяемый свойствами радиоактивного вещества.

Искомая функция имеет вид

ГдеС- произвольное постоянное, определяемое из начальных условий:

тогда
окончательно,

Глава 1. Дифференциальные уравненимя первого порядка Основные понятия и определения

Дифференциальное уравнение- уравнение, в которое наряду с неизвестной функцией входят и ее производные.

Если неизвестная функция зависит от одного аргумента, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным.

Если неизвестная функция зависит от нескольких аргументов, то дифференциальное уравнение называется уравнением в частных производных.

В общем виде дифференциальное уравнение можно записать как

(1.1)

где -независимая переменная, - искомая функция, - производные функции .

Порядок дифференциального уравнения–это наивысший порядок производной неизвестной функции ,входящей в уравнение.

Решение дифференциального уравнения- функция , определенная на некотором интервале, которая, будучи поставлена в исходное дифференциальное уравнение, обращает его в тождество:

(1.2)

Отсюда очевидно, что функция должна быть дифференцируема столько раз, каков порядок дифференциального уравнения.

Интервал определения решения - интервал, на котором определена функция .

Интегрирование дифференциального уравнения - процесс нахождения решения дифференциального уравнения.

Интегральная кривая дифференциального уравнения- график функции , являющейся решением этого уравнения.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка

(1.3)

называется функция , где С- произвольное постоянное такое, что при любом значении С функция является решением дифференциального уравнения, и для любой точки можно найти такое числовое значение С, при котором интегральная кривая будет проходить через данную точку.

Общим интегралом дифференциального уравнения называется соотношение

(1.4),

из которого при любом значении С может быть определена интегральная кривая.

Геометрически общее решение представляет собой семейство кривых, зависящих от параметра С.

Частное решение- одна из интегральных кривых этого семейства, проходящая через заданную точку .

Задачей Коши для дифференциального уравнения (1.3) называется задача определения такого решения этого уравнения, которое удовлетворяет заданному начальному условию

(1.5)

.