Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Линейная система дифференциальных уравнений (ЛСДУ) вида

коэффициенты в уравнениях которой – постоянные числа, называются ЛСДУ с постоянными коэффициентами.

Линейную систему дифференциальных уравнений (ЛСДУ) с постоянными коэффициентами, как и любую линейную систему можно проинтегрировать методом исключения неизвестных.

В результате применения этого метода, исходная система сводится к одному дифференциальному уравнению высшего порядка, которое будет в этом случае также линейным и также с постоянными коэффициентами.

Общее решение линейных систем с постоянными коэффициентами можно построить также методом Эйлера.

Рассмотрим этот метод в применении к с системе трех линейных дифференциальных уравнений:

(4.17)

Замечание. Здесь независимая переменная –t, неизвестные функции x(t), y(t), z(t).

Решение системы (4.17) ищем в виде

, , , λ, μ, νиr – const

(4.18)

Подставляя (4.18) в (4.17) и сокращая на , получаем систему уравнений для определения λ, μ, ν:

(4.19)

Система (5) имеет ненулевое решение, когда ее определитель ∆ равен нулю.

(4.20)

Уравнение (4.20) называется характеристическим.

Пусть корни , и характеристического уравнения ─ вещественные и различные. Подставив в (4.19) вместо r число и решив систему (4.19), получим числа , , . Затем положим в (4.19) и получим числа , , и, наконец, при получим , , . Соответственно трем наборам чисел λ, μ и ν получим три частных решения

, , ,

, , ,

, , .

Общее решение системы (4.17) имеет вид

,

,

.

Пример1. Решить систему

Решение.

Составляем характеристическое уравнение

,

или .

Корням , , соответствуют числа

, , ,

, , ,

; ; .

Выписываем частные решения

, , ,

, , ,

, , .

Общее решение системы:

,

,

.

Пример2. Решить систему

(4.21)

Решение.

Характеристическое уравнение

, или

имеет кратный корень .

Решение следует искать в виде

, .

(4.22)

Подставляя (4.22) в первое уравнение системы (4.21), получаем

.

(4.23)

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой части (4.23), получаем:

,

,

Откуда

, .

(4.24)

Величины и остаются произвольными. Обозначая их соответственно через и , получаем общее решение системы (4.21):

.

Замечание. Легко проверить, что если (4.22) подставить во второе уравнение системы (4.21), то получим тот же результат (4.24). В самом деле, из равенства

получаем два соотношения для определения и через и :

,

,

откуда = , .