Фундаментальная система решений линейной однородной системы дифференциальных уравнений

Система вектор-функций{ }называется линейно зависимой, если существуют коэффициенты не все равные нулю такие, что выполняется тождество

.

Если данное тождество выполняется лишь при нулевых значениях коэффициентов , то система вектор-функций{ } называется линейно независимой.

Определитель Вронского для вектор-фукций{ }имеет вид

Этот определитель также является функцией от x и обозначается

Теорема. Если система вектор-функций{ }линейно зависима на [a,b], то определитель Вронского

,

для данной системы, тождественно равен нулю в каждой точке отрезка [a,b].

Доказательство.

По определению линейно зависимых вектор-функций условие теоремы означает, что

.

Это векторное тождество фактически представляет собой систему из n уравнений

.

Данная однородная система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных имеет по условию теоремы ненулевое решение и нулевое решение (т.к. система однородная), то есть не единственное решение.

Отсюда следует, что определитель этой системы равен нулю

Следствие. Любая совокупность n линейно независимых решений ЛОСДУ называется фундаментальной системой(ФСР) решений этой ЛОСДУ.

Теорема 6.

Линейная однородная система дифференциальных уравнений

с непрерывными на [a,b] коэффициентами имеет на этом отрезке фундаментальную систему решений.

Доказательство.

Рассмотрим n задач Коши вида:

, где , где

Каждая из этих n задач Коши, в силу выполнения условий теоремы Пикара (коэффициенты непрерывные), имеет единственное решение:

11)	, ;
22)	, ;
nn).	, .

Определитель Вронского для построенных вектор-функций в начальной точке имеет вид

.

То есть система вектор-функций в точке линейно независима. В силу произвольности выбора начальной точки, последнее означает, что вектор-функции линейно независимы на отрезке [a,b], следовательно, образуют ФСР ЛОСДУ на этом отрезке.

Теорема о структуре общего решения линейной однородной системы дифференциальных уравнений

Теорема. Общее решение линейной однородной системы дифференциальных уравнений

(4.8)

с непрерывными на отрезке коэффициентами равно линейной комбинации с произвольными постоянными частных решений ЛОСДУ, образующих ФСР данной ЛОСДУ.

Доказательство.

Пусть вектор-функции{ }образуют ФСР ЛОСДУ (1).

Тогда убедимся, что общее решение (4.8) имеет вид

(4.9)

Покажем, что:

1) является решением системы (4.8),

2)возможно подобрать такие, что будет удовлетворять наперед заданным начальным условиям

(4.10)

Функция , построенная по формуле (4.9) является решением (4.8) в силу третьего свойства решений ЛОСДУ. Покажем, что выполняется второе условие. Назначим начальные условия:

где произвольные числа, .

Подставим функцию (4.9) в эти начальные условия

Это векторное равенство эквивалентно системе

Данная неоднородная система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных имеет определитель (определитель Вронского для вектор-функций ), который отличен от 0, так как система вектор-функций линейно независима. Следовательно, эта СЛАУ имеет единственное решение.

Значит можно определить значения , при которых вектор-функция (4.9) будет являться решением системы (4.8), удовлетворяющим заданным начальным условиям (4.10).

Следовательно, функция (4.9) является общим решением системы (4.8).