Контрольные вопросы

52. Какое уравнение называется дифференциальным уравнением n-ого порядка?

53. Дать определение общего решения дифференциального уравнения n-ого порядка.

54. Дать определение частного решения дифференциального уравнения n-ого порядка.

55. Что представляет собой геометрически обще решение дифференциального уравнения n-ого порядка?

56. Что представляет собой геометрически частное решение дифференциального уравнения n-ого порядка.

57. Записать задачу Коши для дифференциального уравнения n-ого порядка.

58. Записать формулировку теоремы Пикара для дифференциального уравнения n-ого порядка.

59. Какие типы дифференциальных уравнений высшего порядка допускают понижение порядка?

60. Какой метод решения дифференциального уравнения вида _?

61. Какой метод решения дифференциального уравнения вида _?

62. Какой метод решения дифференциального уравнения вида _?

63. _{Какая замена используеся при решении дифференциального уравнения вида ?}

64. _{Какая замена используеся при решении дифференциального уравнения вида ?}

65. _{Привести пример дифференциального уравнения высшего порядка вида .}

66. _{Привести пример дифференциального уравнения высшего порядка вида .}

67. _{Привести пример дифференциального уравнения высшего порядка вида .}

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Основные понятия и определения

Линейным дифференциальным уравнениемn-го порядка называется уравнение, в которое неизвестная функция и её производные доn-го порядка входят в первой степени

(3.1)

Коэффициенты этого уравнения и - непрерывные функции на отрезке [a,b], этого достаточно, чтобы выполнились все условия существования и единственности решения задачи Коши

или

Таким образом функция непрерывна и удовлетворяет в каждой точке условию Липшица поy, значит, существует единственное решение уравнения (3.1), удовлетворяющее начальным условиям:

(3.2)

Если , уравнение (3.1) называется однородным. Чаще уравнение (3.1) записывается в виде .

Левая часть уравнения называется линейным дифференциальным оператором (ЛДО)

(3.3)

Свойства линейного дифференциального оператора

1. ПостояннуюCможно выносить за знак линейного дифференциального оператора:

Докажем это

2. Линейный дифференциальный оператор, применённый к сумме двух функций равен сумме результатов применения линейного дифференциального оператора к каждой из этих функций в отдельности:

Докажем это

3. Результат применения линейного дифференциального оператора к линейной комбинации функций с постоянными коэффициентами равен линейной комбинации с теми же коэффициентами результатов применения линейного дифференциального оператора к каждой из функций

Доказательство основывается на 1 и 2 свойствах.

Линейные однородные дифференциальные уравнения. Свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений

Пусть дано линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ)

(3.4)

Используя свойства ЛДО, легко доказываются следующие теоремы, устанавливающие свойства решений ЛОДУ.

Теорема 1. Если есть решение ЛОДУ (3.4) на отрезке [a,b], то также решение этого уравнения.

Доказательство.

Пусть - решение уравнения (3.4), то есть но тогда - решение ЛОДУ (3.4).

Теорема 2. Сумма двух решений и ЛОДУ (3.4) есть решение этого уравнения.

Доказательство. 

- решение уравнения (4) , - решение (3.4) , тогда -решение уравнения (3.4).

Теорема 3. Линейная комбинация частных решений ЛОДУ (4) с произвольными коэффициентами являются также решением этого уравнения.

Доказательство.

На основании теоремы 1 и теоремы 2.

Теорема 4.Если ЛОДУ (3.4) имеет комплекснозначное решение , то его действительная и мнимая части, каждая в отдельности, также является решениями этого уравнения.

Доказательство.

Пусть функция - решение ЛОДУ (3.4), то есть но тогда по теоремам 1 и 2 Комплексная величина обращается в нуль тогда и только тогда, когда обращаются в нуль её действительная и мнимая части, то есть

- решение(3.4),

- решение(3.4).