Собственные колебания

Система закреплена неподвижно на каком-то расстоянии L. Первоначально системе сообщается какой-то импульс (а затем источник сил убирается).

Под действием мгновенно-приложенной силы система отклоняется от положения равновесия на расстояние «y», за счёт сил упругости система стремится занять положение устойчивого равновесия и в какой-то момент времени она его занимает. Т.о. на систему действуют 2-е силы:

(131)** - сила инерции;

(132)** - сила упругости.

Обычно эти силы противоположно направлены и инерционная сила берется со знаком «-». Согласно закону Гука эти силы должны быть равны: или (133)^** - линейное дифференцирование уравнение 2 порядка.

Для решения необходимо освободиться от коэффициента при 2-й производной:

(134); K – коэффициент упругости.

В результате решения (134) путём подбора корней Эйлера получим: при (135)

K – коэффициент упругости зависит от способа закрепления системы.

Наименование	Схема	Формула
Консольная балка
Консольная 2-х опорная балка
Консольная 2-х пролётная балка
2-х пролётная,2-х опорная балка

При решение (135) при начальных условиях получим максимально-возможное отклонение системы от положения равновесия.

(136) на практике (136) пользоваться невозможно, т.к. для великого множества механических систем, использованных в производстве невозможно определить начальные отклонения, поэтому из (137) с учётом коэффициента упругости для данного закрепления:

.

Величина « » называется статическим прогибом, т.е. прогибом системы при действии частоты собственных колебаний, тогда ; При см/с²: ; ; (138)

(138) будет характеризовать критическое число оборотов вала для обеспечения минимального статического прогиба.

(138) можно было бы использовать при механических расчётах, если известна величина статического прогибы; в большинстве систем она неизвестна.

Вынужденные колебания

Груз весом закреплён относительно опоры на расстоянии L. на груз действует постоянная возмущающая сила .

Система с 1-ой степенью свободы. Это означает, что для её полной характеристики достаточно знать новое положение или отклонение центра тяжести от состояния равновесия или деформация вала вполне определяется горизонтальным отклонением.

Необходимо определить величину возможных деформаций под действием возмущающей силы Ω, С – центробежная сила.

На систему действует сила упругости , сила инерции , центробежная сила .

Для того, чтобы система находилась в положении равновесия эти силы должны быть уравновешены.

(139); ; - частота собственных колебаний.

(140) – линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка с правой частью.

Решение его ищется при начальных условиях t=0, y^’=0, y^’’=0. Это означает, что в начальный момент времени при t=0 отклонение системы от положения равновесия не происходит и y=0 (деформации нет).

Т.к. (140) – дифференциальное уравнение с правой частью, его решение ищется в виде 2-х корней.

Общее решение уравнения: y= y₁+ y₂ (141)**. Используя метод Эйлера получено решение для деформаций системы под действием постоянно действующей возмущающей силы.

y₁+ y₂ (142)**

(142) характеризует полное отклонение системы от действия возникающей силы y₁ и частоты собственных колебаний y₂

Графическое изображение (142):

При сложении колебаний с частотой собственных и вынужденных колебаний получатся колебания с суммарной амплитудой, периодически возвращающие или убывающие, которые называются биением.

Из (142) видно, что колебания с частотой собственных колебаний убывают и в какой-то момент времени их амплитуда становится несоизмеримо меньше с амплитудой от действия постоянно-действующей возмущающей силы.

Тогда (142) примет вид: (143).

Максимальное значение деформации «у» будет при значениях .

Тогда максимально-возможное отклонение или амплитуда 𝛌 будет равна: ; – величина статического прогиба;

; (144) ; (145)

-коэфициент динамичности; показывает во сколько раз статический прогиб меньше динамического.

При расчётах на прочность для учёта динамичности допускаемое направление увеличится на величину .

Из (144) видно, что зависит только от соотношения скорости или частот вынуждающих и собственных колебаний.

Графическое изображение(144).

1. В какой-то момент времени и

2. Частота и

3. и

4. и

В соответствии со (145) при амплитуда, а, следовательно

деформации или прогиб вала стремятся к бесконечности.

Это происходит при резонансе (при совпадении частот собственных и вынужденных колебаний).

В промышленности является ГОСТ-й величиной и для валов .

При решении задач величина берётся по модулю. Рассматриваются 2-а случая: 1) ; ; ; Ω=0,73 *

2) ; ; ; Ω=1,23 **;

Графическое изображение (146): (146)

1- Дорезонансная зона или зона работы жёсткого вала;

2- зарезонансная зона или зона работы гибкого вала или вала, способного самоцентрирования за счёт эксцентриситета «е».

Зона Ω(0,73-1,23) **(147) является нерабочей зоной или резонансной, при которой деформация стремится к бесконечности.

Из (144) видно, что амплитуда увеличивается не мгновенно, а нарастает по линейному закону и за конечный промежуток времени не обращается в ноль.

При расчётах приводятся графические зависимости, характеризующие возрастание амплитуд и момент пуска движения.

В момент пуска равенство частот вынуждающих и собственных колебаний сохраняется лишь какое-то мгновение. При этом амплитуда может перескочить это равенство, сохраняя положение устойчивого равновесия, т.е. перескочить из 1-й во 2-ю зону, т.е. вал будет работать в зарезонансной зоне в области устойчивого равновесия.

При резонансе: ; Y – момент инерции всех насаженных на вал деталей и самого вала; - мощность движения; – мощность, затрачиваемая на трение в подшипниках .

; ; (148)

( 149) – при резонансе.

По (148) рассчитывается время пуска соответствующее резонансу и рассчитывается по моменту инерции величины геометрических параметров системы, выдерживающих резонанс.