Extra questions

Значения СПМ известны только для дискретного значения частот с шагом ∆ = ⁄ . (График не непрерывный, а дискретный)

88.Как отражается на спектральной оценке по методу Фурье бесконечное периодическое продолжение сигнала?

Часто «конечный» сигнал используемый для преобразования Фурье на самом деле является частью более длинного, возможно бесконечного сигнала, такого как, например, синусоида. В этом случае дополнение конечного отрезка нулями интерпретируют следующим образом: считают что исходный сигнал имеет бесконечно большую длину, но затем умножается на некоторую взвешивающую функцию — “окно”, обращающуюся в ноль вне доступного нам для измерения отрезка. В простейшем случае роль “окна” играет просто прямоугольная функция, соответствующая тому что мы просто дополняем конечный сигнал слева и справа бесконечным числом нулей. В более сложных — исходную последовательность умножают на весовые коэффициенты определяемые функцией “окна” и затем, опять же, дополняют нулями.

Более того спектр будет симметрично повторятся для частот кратных Fs.

89.Что такое «быстрое преобразование Фурье» и как оно связано с дискретным преобразованием Фурье?

Быстрым преобразованием Фурье (БПФ) называют набор алгоритмов,

реализация которых приводит к существенному уменьшению вычислительной сложности ДПФ. Основная идея БПФ состоит в том, чтобы разбить исходный N-отсчетный сигнал x(n) на два более коротких сигнала, ДПФ которых могут быть скомбинированы таким образом, чтобы получить ДПФ исходного N-отсчетного сигнала.

Так, если исходный N-отсчетный сигнал разбить на два N/2-отсчетных сигнала, то для вычисления ДПФ каждого из них потребуется около (N/2)2 комплексных умножений. Тогда для вычисления искомого N- отсчетного ДПФ потребуется порядка 2(N/2)2=N2/2 комплексных умножений, т.е. вдвое меньше по сравнению с прямым вычислением. Операцию разбиения можно повторить, вычисляя вместо (N/2)-отсчетного ДПФ два (N/4)-отсчетных ДПФ и сокращая тем сасым объем вычислений еще в два раза. Выигрыш в два раза является приблизительным, поскольку не учитывается, каким образом из ДПФ меньшего размера образуется искомое N-отсчетное ДПФ.

90.За счёт чего и какой по величине выигрыш даёт быстрое преобразование Фурье?

Самая трудоёмкая часть ДПФ – вычисление коэффициентов путем перемножений экспонент. При использовании БПФ в этом перемножении можно избавиться от избыточной степени экспоненты и сократить количество расчётов: ДПФ - 2, БПФ - ∙ log2 .

91.В чём разница между амплитудным спектром, спектром мощности и спектральной плотностью мощности?

Амплитудный спектр показывает значение амплитуд гармоник определенной частоты, составляющих исследуемый сигнал; спектр мощности – мощности этих гармоник. СПМ показывает сколько мощности приходится на единичный интервал частоты ∆.

92.Как будет выглядеть истинный спектр синусоидального сигнала с заданными значениями амплитуды и частоты?

График спектра продолжается на целых частотах, т.е. гармоники будут находиться на частотах 0, 2 0, 3 0, 4 0… n 0

93.Что такое гармоники и в чём причина их наличия в спектре сигнала?

Гармоники – гармонические (синусоидальные) состовляющие периодического сигнала разных частот, получаемого суммой этих синусойд.

94.Почему обычно предпочитают пользоваться спектральной плотностью мощности, а не спектром мощности?

Из-за практической удобности. Сама мощность в данном случае является математической мощностью и не несет никакой информации. Важно то, как она проявляется на различных частотах, т.е. как она на них распределена.

95.Почему спектр сигнала рассматривают только в полосе от 0 Гц до частоты Найквиста?

По теореме Котельникова (теорема отсчетов) минимальное значение частоты дискретизации должно удовлетворять:

д = 2

Если функция, зависящая от времени, имеет ограниченный частотный спектр F, то она полностью определяется дискретными отсчетами ее значений, следующими с частой д.

Частота Найквиста – частота, равная половине частоты дискретизации д/2 Диапазон от 0 до д/2часто называется интервалом Найквиста.

Из теоремы Котельникова следует, что полезную информацию будут нести только частоты ниже частоты Найквиста. Частоты выше частоты Найквиста являются зеркальным отображением нижних частот. Если спектр сигнала не имеет составляющих выше частоты Найквиста, то он может быть оцифрован и затем восстановлен без искажений.

96.Что такое разрешение спектра и чем оно определяется?

Спектральное разрешение характеризует способности спектра к различию близких по частоте составляющих.

Оно определяется: частотой дескритизации Fs и количеством отсчётов N: ∆ =⁄

97.Что называют «спектральной утечкой» и чем она вызывается?

Из-за того, что при использовании ДПФ явно предполагается бесконечное периодическое продолжение анализируемого сигнала, в получаемом спектре может наблюдаться эффект, называемый «спектральной утечкой», который проявляется в «растекании» мощности спектральных составляющих по диапазону частот. Этот эффект может быть снижен при применении сглаживающих окон.

98.Что понимают в спектральном анализе под термином «окно»?

Под «сглаживающими окнами» понимают функции, имеющие на краях близкие к нулю значения, которые плавно возрастают до единицы в средней части функции.

99.Для чего используют сглаживающие окна при спектральном анализе?

В случае использования алгоритма БПФ для получения спектральных оценок возможны два основных варианта:

•Периодограммный метод (расчет БПФ для всего фрагмента сигнала целиком)

•Метод Уэлча (использование усреднения спектров, рассчитанных по перекрывающимся фрагментам сигнала)

При использовании периодограммного метода выполняется следующая последовательность процедур:

1.Удаление из сигнала среднего значения (или линейного тренда) с целью устранения постоянной составляющей

2.Умножение сигнала на сглаживающее окно для уменьшения спектральной утечки, вызываемой разрывами на краях анализируемого фрагмента, возникающими при его периодическом продолжении

3.Дополнение фрагмента сигнала нулями до размера, соответствующего какойлибо степени числа 2, что позволяет далее использовать алгоритм БПФ

4.Расчет дискретного преобразования Фурье с помощью алгоритма БПФ

5.Расчет СПМ и умножение его на корректирующие коэффициенты (имеются формулы, см. методу)

(!)Следует помнить, что применение сглаживающих окон хоть и снижает спектральную утечку, но приводит в то же время к ухудшению спектрального разрешения.

100. Для чего из сигнала перед вычислением оценки спектра устраняют постоянную составляющую?

При использовании периодограммного метода (расчет БПФ для всего фрагмента сигнала целиком)выполняется удаление из сигнала среднего значения (или линейного тренда) с целью устранения постоянной составляющей, которая доминирует в сигнале сердечного ритма, но не несет информации о вариабельности сердечного ритма.

101. Для чего применяют дополнение сигнала нулями?

Дополнение фрагмента сигнала нулями до размера, соответствующего какой-либо целой степени числа «2» позволяет далее использовать алгоритм БПФ.

102. Что такое разрешение спектра?

Разрешение спектра - способность спектра к различению близко расположенных частотных составляющих.

103. Как определить шаг по частоте для спектра, рассчитанного с помощью БПФ?

Шаг по частоте = Частота дискретизации/число точек для алгоритма БПФ

104.Как дополнение нулями влияет на разрешение спектра?

Дополнение сигнала не приводит к улучшению спектрального разрешения, потому что оно выражается в интерполяции значения по частоте.

105.Какой (минимальной) длины фрагмент сигнала нужен для получения (с помощью ДПФ) достоверной спектральной оценки компоненты с заданной частотой?

106.Каким способом получают сигнал сердечного ритма?

ЭКГ

107.Что служит входной информацией для анализа вариабельности сердечного ритма?

Анализ вариабельности сердечного ритма (ВСР) представляет собой метод исследования статистических и частотных свойств сигнала, образуемого последовательностью интервалов времени между смежными сокращениями сердца, относящимися к фоновому ритму. Интервалы времени между последовательными сокращениями сердца (RR-интервалы) обычно измеряются по ЭКГ как расстояния между вершинами R-зубцов QRSкомплексов. Если за период регистрации ЭКГ в сигнале наблюдались нарушения сердечного ритма или помехи, вызвавшие ошибки в определении RR-интервалов, то участки сигнала, соответствующие этим событиям, должны исключаться из процедуры анализа. В связи с этим в общепринятых методиках анализа ВСР в качестве входных данных принято использовать не непосредственно последовательность RR-интервалов, а так называемую последовательность NN-интервалов, т. е. интервалов между смежными QRSкомплексами фонового ритма (или комплексами класса «норма»). Так как анализируемая последовательность интервалов времени не является равномерно дискретизованным сигналом, традиционно используемым при частотном анализе, то к ней нельзя непосредственно применить общепринятые методы цифровой обработки. В связи с этим на первом этапе анализа из последовательности NN-интервалов получают с использованием сплайн-интерполяции равномерно дискретизованный сигнал (рекомендованная частота дискретизации составляет 4 Гц), который рассматривается как описание восстановленной функции управления сердечным ритмом. Именно исследование этой функции, порождающей последовательность регистрируемых RR-интервалов, является предметом анализа ВСР. Последовательность NN-интервалов (или RR-интервалов) часто принято графически отображать в виде ритмограммы (тахограммы), на которой значения интервалов изображаются в виде вертикальных линий, а по оси абсцисс откладываются порядковые номера соответствующих интервалов.

высокая активность в диапазоне LF (LowFrequency, 0,04…0,15 Гц)

108. Почему последовательность RR-интервалов в первоначальном виде не может использоваться для частотного анализа ритма?

Интервалы времени между последовательными сокращениями сердца (RRинтервалы) обычно измеряются по ЭКГ как расстояния между вершинами R- зубцов QRS-комплексов. Если за период регистрации ЭКГ в сигнале наблюдались нарушения сердечного ритма или помехи, вызвавшие ошибки в определении RR-интервалов, то участки сигнала, соответствующие этим событиям, должны исключаться из процедуры анализа.

109.Чем отличаются друг от друга RR-интервалы и NN-интервалы?

При анализе ВСР в качестве входных данных используется не непосредственно последовательность RR-интервалов, а так называемая последовательность NN-интервалов.

Внепрерывной записи ЭКГ детектируется каждый QRS комплекс и вычисляются так называемые нормальный к нормальному интервалы (NN), т.е. интервалы между смежными комплексами QRS.

110.Как по графику спектральной плотности мощности определить спектральные параметры сердечного ритма, обозначаемые VLF, LF и HF?

•HF (HighFrequency) — высокая частота, быстрые волны. Их длительность составляет 2,5-6,6 сек., а частота колебаний — 0,15-0,4 Гц. Обычно на графике выделяются зеленым цветом.

•LF (LowFrequency) — низкая частота, средние волны. Их длительность составляет 10-30 сек., а частота колебаний — 0,04-0,15 Гц. На графике обычно обозначаются красным цветом.

•VLF (VeryLowFrequency) — очень низкая частота, медленные волны. Их длительность превышает 30 сек., а частота колебаний менее 0,04 Гц. На графике обычно выделяют голубым цветом.

111. На какой модели основаны параметрические методы спектрального анализа?

На модели авторегрессии.

112. Чем объясняется название «параметрические» методы?

Тем, что в ходе получения спектральных оценок оцениваются параметры авторегрессионной модели.

113. Что означает понятие «белый шум» и чем оно характеризуется во временной и в частотной областях?

Белый шум — стационарный шум, спектральные составляющие которого равномерно распределены по всему диапазону задействованных частот. Название получил от белого света, содержащего электромагнитные волны частот всего видимого диапазона электромагнитного излучения. Кроме белого, существуют шумы многих цветов.

В природе и технике «чисто» белый шум (то есть белый шум, имеющий одинаковую спектральную мощность на всех частотах) не встречается (ввиду того, что такой сигнал имел бы бесконечную мощность), однако под категорию белых шумов попадают любые шумы, спектральная плотность

которых одинакова (или слабо отличается) в рассматриваемом диапазоне частот.

АКФ – дельта-функция

114. Какую роль в параметрических методах спектрального анализа играет понятие «белый шум»?

115.Что называют «окрашиванием» спектра?

Впараметрических методах спектрального анализа белый шумовой процесс может использоваться в качестве входного сигнала. Последовательность значений ошибки представляет собой выход фильтра линейного

предсказания ошибки. В отмеченном же случае последовательность значений ошибки будет белым шумовым процессом, коэффициенты линейного предсказания будут идентичны АР-параметрам, а фильтр предсказании ошибки можно будет рассматривать как отбеливающий фильтр. Спектр выходного сигнала будет содержать спектр белого шума. Это можно назвать «окрашиванием».

116. Что такое «порядок» модели АР или СС?

Порядок модели это один из параметров АР и СС моделей. Порядок модели АР обозначается p, а порядок модели СС обозначается q. От выбора порядка этой модели зависит компромисс между разрешением и дисперсией получаемой спектральной оценки, и обусловленный им эффект аналогичен эффекту при изменении окна в классических спектральных оценках.

117. Чем отличаются спектральные оценки, полученные с использованием моделей АР, СС и АРСС?

Если значения порядков будут равны нулю p=0, q=0, то формулы АР, СС и АРСС будут представлять СПМ процессов.

Спектр АРСС (авторегрессия скользящего среднего) представляет собой объединение спектров АР и СС. В нём акцентируются и пики, и впадины.

В спектре АР акцентируются только пики, которые показывают наличия характерных частотных составляющих.

Для спектра СС характерны впадины. Разрешающая способность данного спектра хуже.

118. Как определяют необходимый порядок АР модели?

Поскольку наилучшее значение порядка фильтра заранее, как правило, не известно, на практике обычно приходится испытывать несколько порядков модели. Базируясь на этом, вводят тот или иной критерий ошибки, по которому затем определяется требуемый порядок модели. Если порядок модели выбран слишком малым, получаются сильно сглаженные спектральные оценки, если излишне большим — увеличивается разрешение, но в оценке появляются ложные спектральные пики. Таким образом, применительно к авторегрессионному спектральному оцениванию выбор порядка модели эквивалентен компромиссу между разрешением и величиной дисперсии для классических методов спектрального оценивания.

Для выбора порядка АР-модели предложено много различных критериев.

1.Окончательная ошибка предсказания (ООП)

где N — число отсчетов данных, р — порядок АР-процесса и ρp — оценочное значение дисперсии белого шума.

Выбирается такое значение порядка, при котором ООП минимальна.

2.Информационный критерий Акаике

где N — число отсчетов данных, р — порядок АР-процесса и ρp — оценочное значение дисперсии белого шума. – Этот параметр нужно минимизировать

Существуют другие критерии : ДМО - длина минимального описания (формула как и у ИКА,но вместо 2p–p*ln(N)), АПФК - авторегрессионная передаточная функция критерия(выбирается порядок, при котором оценка разности среднего квадрата ошибок между истинным фильтром предсказания ошибки и оцениваемым фильтром минимальна).

Все данные критерии целесообразно использовать лишь для выбора начального значения порядка модели, поскольку они обеспечивают хорошие результаты в случае искусственных АР-сигналов, синтезированных с помощью ЭВМ, а в случае действительных данных результаты их применения зависят от того, насколько точно эти данные могут моделироваться с помощью того или иного АР-процесса.

119. Какими параметрами описывается АР модель?

АР модель - модель временных рядов, в которой значения временного ряда в данный момент линейно зависят от предыдущих значений этого же ряда.

Авторегрессионный процесс порядка p (AR(p)-процесс) определяется следующим образом

x(n) – последовательность (процесс) на выходе

a(k) - параметры модели (коэффициенты авторегрессии)

u(n) – входной возбуждающий процесс, относительно него можно принять много различных допущений, скажем положить, что это единичный импульс, импульсная последовательность или белый шум.

120. Что показывает автокорреляционная функция сигнала?

АКФ показывает наличие внутренних периодичностей в сигнале. Она всегда равна единице при нулевом сдвиге (т. е. при m = 0), симметрична относительно оси ординат и затухает с увеличением m тем медленнее, чем сильнее выражены периодичности в сигнале.

121. Что показывает взаимная корреляционная функция двух сигналов?

ВКФ позволяет оценить наличие сходных по частоте колебаний в двух сигналах. Если при каких-то значениях сдвига модуль значения ВКФ приближается к единице, то это служит признаком наличия в сигналах однотипных изменений, происходящих с задержкой, равной сдвигу.

122. Какая связь между взаимной корреляционной функцией двух сигналов и коэффициентом взаимной корреляции?

Rxy(τ) = lim 1 ∫∞ ( ) ( + ) ВКФ двух сигналов х и у

→∞ −∞

Коэфф. взаимной корреляции – значение функции взаимной корреляции

внуле

123.Какие значения может принимать нормированная корреляционная функция и почему?

От -1 до 1, потому что корреляция может быть максимальной (равной ед), отсутствовать вовсе (тогда ноль) и у противоположных по фазе частей сигнала она будет равна -1