Питання для самоперевірки.

1. Дайте означення координат вектора.

2. Запишіть формули для знаходження координат вектора за відомими координатами його початку і кінця.

3. Напрямні косинуси для вектора та їх властивості.

4. Лінійні дії з векторами заданими аналітично та параметрично.

5. Скалярний добуток двох векторів та формула для його знаходження.

6. Як знайти кут між двома векторами?

7. Які вектори називаються колінеарними? Умова колінеарності векторів.

Задачі для самостійного розв’язання.

1. Обчислити напрямна косинуси вектора а = (12;-15, -16).

2.Дано |а| = 11; |в| = 23 і |а-в| = 30. Знайти |а+в|.

3. Дано вектори а = (3; -2; 6) і в = (-2; 1; 0). Знайти проекції на координатні осі таких векторів: 1) а + в; 2) 1/3а - в.

4.Дано чотири точки А (-1; 5; -10), В (5; -7; 8), С ( 2; 2;-7) і D (5; -4; 2). Перевірити, що вектори АВ і СD колінеарні; знайти, який з них довший і у скільки разів; як вони напрямлені – в один чи в протилежний боки.

5.Знайти орт вектора а = (3; 4; -12).

6. Вектор х, перпендикулярний до векторів а = 3i + 2j + 2k i b = 18i – 22j – 5k, утворює з віссю Оу тупий кут. Знайти його координати, знаючи, що |х| = 14.

7. Задано вектор асортименту q = (20; 40; 60; 10) і вектор витрат сировини s = (5; 3; 7; 2). Знайти витрати сировини S.

8. Дано вершини трикутника А (3; 2; -3), В (5; 1; -1) і С (1; -2; 1). Знайти його зовнішній кут при вершині А.

Тема 3. N-вимірний лінійний простір. Перехід від одного базиса до іншого.

План

1. Поняття n- вимірного вектора і лінійного вимірного простору.

2. Базис і розмірність лінійного n- векторного простору.

3. Перехід від одного базиса до іншого в лінійному.

1. n- вимірним вектором називають впорядковану сукупність із n- чисел і записують так а=(а₁, а₂,.....а_n); а (3.1)

Векторним простором називають множину елементами якої є вектори (3.1).

Лінійним векторним простором називають векторний простір в якому введені лінійні дії з векторами, а+b=(a₁+b₁, a₂+b₂,…..a_n+b_n), які задовольняють властивостям:

1. переставний закон додавання a+b=b+a

2. сполучний закон (a+b)c=a(b+c)

3. існує нульовий вектор 0, такий, що а+0=а

4. існує протилежний вектор (-а), такий, що а+(-а)=0

5. існує числовий множник 1, 1, такий, що 1а=а

6. (a+b)=a+b

7. ( +)a=a+a

8. (a)=()a

Сукупність векторів а1, а2,…….аn (3.2),де аn = н називають лінійно

незалежними векторами, якщо = 0 (3.3), при умові, що всі λi = 0 (3.4).

Якщо умова (3.3) виконується, а (3.4) не виконується, то вектори називають лінійно залежними. Вираз - називають лінійною комбінацією векторів.

Розглянемо векторне рівняння (3.3) і запишемо його в скалярній формі

+ + … + =

0

= 0

0

(3.5)

(3.1) векторне рівняння відносно невідомих .

(3.4) скалярна система відносно невідомих , тобто (3.3) і (3.5) – це одне й те саме рівняння тільки по різному записане.

Розглянемо систему (3.5). Її називають однорідною системою рівнянь.

Зауваження: однорідна система завжди сумісна:

1) якщо , то має єдиний розв’язок і він дорівнює ,

2) якщо , то безліч розв’язків серед яких будуть ненульові.

Висновок:

В ектори незалежні будуть в тому випадку, коли рані матриці

А= , , тобто числу невідомих де n – число невідомих λi,

Приклад 1.

Перевірити чи будуть лінійно-незалежними вектори

, n=4.

Всі і вектори лінійно-незалежні.

Приклад 2.

Перевірити чи є лінійно незалежними вектори

, n=4 Так як =/4, то вектори лінійно незалежні.

Тому вектори лінійно залежні.

2. Базисом лінійного векторного простору називають сукупність векторів (3.2), якщо:

1) вектори лінійно-незалежні;

2) довільний вектор простору є їх лінійною комбінацією, де в₁,в₂…в_n називають координатами вектора в в базисі (3.2).

Розмірністю лінійного векторного простору називають максимальне число можливих лінійно-незалежних векторів цього простору, якщо в просторі максимально можливих незалежних n векторів то говорять, що він розмірності n і записують так

Приклад 3.

Перевірити чи вектори

лінійно незалежні.

Знайти координати вектора в = -1 в цьому базисі.

2

1

n=3

Рівняння має нульовий розв’язок, тому вектори лінійно-незалежні.

Відповідь:

Твердження:

Вектори:

утворюють одиничний базис в просторі . Очевидно, що ці вектори лінійно-незалежні, тому утворюють базис простору .

4. Розглянемо в просторі 2 базиси

(3.6)

(3.7)

Нехай вектори (3.7) в базисі (3.6) мають слідуючі координати:

Розглянемо деякий вектор

(3.8)

(3.9)

Знайдемо формули зв’язку між різними базисами (3.6), (3.7) тобто формули переходу від одного базису до іншого.

Для цього розглянемо рівність (3.8)

(3.10)

Запишемо останню систему в матричному вигляді, , звідси

(3.8), (3.10), (3.11) – це одне й те саме тільки (3.8) - векторне рівняння, (3.10) – система, (3.11) – матричне рівняння.

3. Формули (3.11) і (3.12) дають зв’язок між базисами (3.6) і (3.7) Якщо ми переходимо від базису (3.6) до базису (3.7), то ми користуємося формулами (3.12). Якщо від базису (3.7) до (3.6), то користуємося (3.11).

Матриці А, А-1 називають матрицями переходу Х- координати вектора в базисі е.

це координати вектора b в базисі , …., аn.

Приклад 4.

Дано вектори:

показати, що вони утворюють базис простору і знайти координати вектора в базисі .

Розв’язання:

Однорідна система має єдиний розв’язок, а саме , тобто утворюють базис.

Нехай

,

, ,