11. Метод Джордано - Гаусса – універсальний метод

Цей метод одночасно роз’язує і досліджує систему.

Алгоритм методу:

1. Складаємо першу розрахункову таблицю, елементами якої будуть коефіцієнти при невідомих, вільні члени, контрольний стовбець (контрольна сума КΣ). КΣ – сума елементів рядка.

2. Переходимо до другої розрахункової таблиці. В першій таблиці вибираємо ведучий елемент відмінний від нуля:

a_ij ≠ 0

i – ведучий рядок,

j – ведучий стовбець.

Ведучий рядок ділимо на ведучий елемент і результат записуємо в і – му рядку другої таблиці. В j – му стовпці другої таблиці записуємо нулі. Всі інші елементи другої таблиці знаходимо за правилом прямокутника:

a = a_kl - (1.18)

Контрольна сума знаходиться двома способами за формулою прямокутника і додаючи елементи відповідних рядків. Порівнюємо знайдені результати. Якщо немає розходжень, то підрахунки вірні.

3. Переходимо до третьої розрахункової таблиці. У другій вибираємо ведучий елемент і розв’язуємо аналогічно.

j – й стов,ець другої таблиці переписуємо в третій без змін. І так далі до тих пір, доки в останній таблиці серед коефіцієнтів при невідомих буде не більше однієї одиниці, а всі інші нулі.

4. За останньою таблицею записуємо відповідь до системи.

Приклад 20. Дослідити систему на сумісність і розв’язати її методом Джордано – Гаусса:

2х₁ – х₂ + х₃ – 2х₄ + х₅ = 1

х₂ + 2х₃ - х₅ = -2

х₁ + х₂ – х₄ = 3

3х₁ + 3х₃ - 2х₄ = -1

2 -1 1 -2 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0

= 0 1 2 0 -1 -2 ~ 2 0 3 -2 0 -1 ~ 2 0 3 -2 0 -1 ~

1 1 0 -1 0 3 1 1 0 -1 0 3 1 1 0 -1 0 3

2 0 3 -2 0 -1 2 0 3 -2 0 -1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0

~ 2 0 3 -2 0 -1 ~ 1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

r_A= 3, r = 3, m = 5, 3 = 3 ≠ 5

Система має безліч розв’язків. Отже, з цієї системи маємо:

2х₁ – х₂ + х₅ = 1- х₃ + 2х₄

х₂ - х₅ = -2 - 2х₃

х₁ + х₂ = 3 + х₄

Розв’яжемо отриману систему методом Жордана – Гаусса:

Х х1	Х х2	Х х3	вільні	КΣ
2 0 0	-1 1 1	1 -1 0	1- х3 + 2х4 -2 - 2х3 3 + х4	3 - х3 + 2 х4 -2 - 2х3 5 + х4
0 0 1	-3 1 1	1 -1 0	-5 - х3 -2 - 2х3 3 + х4	-7 - х3 -2 - 2х3 5 + х4
0 0 1	-3 -2 1	1 0 0	-5 - х3 -7 - 3х3 3 + х4	-7 - х3 -9 - 3х3 5 + х4
0 0 1	0 1 0	1 0 0

Н₁₂ = -1 - Н₁₄ = 1- х₃ + 2х₄ – 6 + 2х4 Н24 = -2 - 2х₃ – 5 + х3

1 1

Н25 = -2 - 2х₃ – 7 + х3 Н14 = -5 –х₃ –21 + 9х3 Н15 = -7 – х₃ + 27+9х3

1 1 1

Н34 = 3 + х₄ + 7 + 3х3 Н35 = 5 + х₄ + 9+3х3

1 1

Отже, загальний розв’язок системи має вигляд:

х ₅ =

х₂ =

х₁ =

Базисний розв’язок:

Х₁ = - 1/2

Х₂ = 7/2

Х₃ = 0

Х₄ = 0

Х₅ = 11/2

Фундаментальний розв’язок:

Х₁ = -2 Х₁ = 1/2

Х₂ = 5 Х₂ = 7/2

Х₃ = 1 Х₃ = 0

Х₄ = 0 Х₄ = 1

Х₅ = 9 Х₅ = 11/2

Висновок: для того, щоб розв’язати системи потрібно:

1. Дослідити її на сумісність за т. Кронекера – Капеллі;

2. У випадку сумісності зуміти розв'язати її трьома способами.