Множення матриць

Добутком АВ (m*n) – називається матриця С, яка дорівнює сумі добутків відповідних елементів і-го рядка матриці А та j-го стовпця матриці В.

= , =

m – кількість стовпців

p – кількість рядків

* = =

C_ij = a_i1 *b_1g +a_i2 *b_2g +…+a_im*b_mj (1.10)

П риклад 13.

3 4 5 2 3

= 7 -2 1 = 1 4

0 3 -2 2 7

3*2 + 4*1 + 5*2 3*3 + 4*4 + 5*7

* = = 7*2 + (-2)*1 + 1*2 7*3 + (-2)*4 + 1*7 =

0*2 + 3*1 + (-2)*2 0*3 + 3*4 + (-2)*7

20 60

= 14 20

-1 -2

Додавання матриць

Сумою двох матриць однакових розмірів називається матриця такого самого розміру, елементи якої дорівнюють сумі відповідних елементів матриць, які додаються.

с_ij = a_ij + b_ij

Із означення суми матриць випливає, що сума будь-якої матриці і нуль-матриці того самого розміру дорівнює даній матриці.

А+О=А; О+А=А

Приклад 14.

4 5 -3 4 1 9

A = 7 8 B = 0 5 C = A + B C = 7 13

-1 0 -7 2 -8 2

Віднімання матриць

Різницею двох матриць однакових розмірів називається матриця такого самого розміру, елементи якої дорівнюють різницям відповідних елементів матриць зменшувального і від’ємника.

c_ij = a_ij - b_{ij (1.11)}

Матриці А і В називаються протилежними, якщо їхня сума А+В=0 є нуль матриці.

Добуток матриці на число

Добутком матриці на число (або число на матрицю) називається матриця, елементами якої є добуток елементів даної матриці на число.

а₁₁ а₁₂ ... а_1n λ а₁₁ λ а₁₂ ... λ а_1n

λА = Аλ = λ а₂₁ а₂₂ ... а_2n = λ а₂₁ λ а₂₂ ... λ а_2n (1.12)

а_m1 а_m2 ... а_mn λ а_m1 λ а_m2 ... λ а_mn

Операція множення матриці на число має розподільну властивість:

λ (А+В) = λА + λВ

7. Обернена матриця

Оберненою матрицею для даної матриці називається така матриця, яка будучи помножена на дану матрицю зліва або справа дорівнює одиничній матриці.

А^-1*А = А*А^-1 = Е – одинична матриця. (1.13)

Теорема: Якщо матриця квадратна і невироджена det A ≠ 0, то вона має обернену,

яка знаходиться за формулою:

А₁₁ А₁₂ А_1n

А^-1= 1 А₂₁ А₂₂ А_{21 (1.14)}

det A А_n1 А_n2 А_nn

Правило знаходження оберненої матриці:

1. Знаходимо визначник матриці А: det A ≠ 0;

2. Знаходимо алгебраїчні доповнення всіх елементів матриці:

А₁₁ А₁₂ А₁₃

A* = А₂₁ А₂₂ А₂₃

А₃₁ А₃₂ А₃₃

3. Транспонуємо матрицю В:

А₁₁ А₂₁ А₃₁

A = А₁₂ А₂₂ А₃₂

А₁₃ А₂₃ А₃₃

4. Ділимо матрицю A* на det A :

А₁₁ А₂₁ А₃₁

А^-1= А₁₂ А₂₂ А₃₂

А₁₃ А₂₃ А₃₃

Приклад 15.

2 -1 3 А^-1 - ?

A = -3 2 1

4 3 -2

2 -1 3

det A = -3 2 1 = - 8 - 4 - 27 + 6 - 6 = - 63 ≠ 0 - матриця не виражена

4 3 -2

А ₁₁ = 2 -1 = -7; А₁₂ = -2; А₁₃ = -17; А₂₁ = 7; А₂₂ = -16;

3 -1

А ₂₃ = -10; А₃₁ = -7; А₃₂ = -11; А₃₃ = -1;

-7 7 -7

А^-1 = - -2 -16 -11

-17 -10 1

П еревірка:

-7 7 -7 2 -1 3 -14-12-28 7+14-21 -21+7+14

А^-1*А = - -2 -16 -11 * -3 2 1 = -4+48-44 2-32-33 -6-16+22 =

-17 -10 1 4 3 -2 -34-30+4 17-20+3 -51-10-2

-63 0 0 1 0 0

= - 0 -63 0 = 0 1 0 .

0 0 -63 0 0 1