Питання для самоперевірки

1. Як визначають диференціальне рівняння, його порядок, запільний та частинний розв'язки, задачу Коші?

2. Який вигляд має рівняння з відокремленими змінними і як знаходять його загальний розв'язок?

3. Який вигляд мають рівняння з відокремлюваними змінними, однорідне, лінійне, Бернуллі і як знаходять їх розв'язки?

4. Як знаходити розв'язок задачі Коші для диференціального рівняння першого порядку?

5. Які рівняння другого порядку можна розв'язувати методом зниження порядку?

6. Як складається характеристичне рівняння лінійного однорідного диференціального рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами?

7. Як впливають корені характеристичного рівняння на вигляд запільного розв'язку таких диференціальних рівнянь?

Завдання для самостійного виконання:

1. Знайти загальний розвязок або загальний штеграл дифе ренщального ршняння з вщокремлюваними змшними:

a) xydx + (х + l)dy = 0;

b) (х + 1)dy - (y - 2)dx = 0;

c) cos² у • dx + ctgx • dy = 0.

2. Знайти загальний розв'язок лініних диференщальних рівнянь першого порядку:

a) у' + 2у = 4х;

b) у' – ctgx · у = sinx;

c) ху' - 2у = 2х⁴;

d) (x² +1)у' +4х·у = 3;

е) у' - у = е^x;

f) xy' -у = х;

g) xy' + 3у = х^-3.

3. Знайти загальний розв'язок однорідних диференціальних рівнянь першого порядку:

а) у' = ;

b) у' = ;

с) у' = ;

d) y' = ;

е) у' = .

4. Знайти загальний розв'язок рівняння Бернуллі:

а) х² у² ·у' = 1;

b) y + y = - xy²;

c) xy'- y² ·lnx + y = 0;

5. Знайти розв'язок задачі Koшi:

а) у' =3y ; y(2) = 0;

b) xy' + y =e^x; y(1)=l;

c) y'·ctgx + y = 2; у(0) = 1.

6. Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння

порядку:

а) у"·tgx = y' +1;

b) 2y ·y" –(y')²=0;

c) у" +2y ^-1 (у')² =0;

d) xy" - у' = х²е^х.

7. Знайти загальний розв'язок р!вняння;

а) у" - у = 0;

b) у" - 4у' + 3у = 0;

с) у" - у' - 2у = 0;

Змістовний модуль 4 Тема 5. Функція двох змінних

План

1. Означення функції двох змінних. Область визначення та графік.

2. Частинний та повний приріст функції.

3. Поняття частинної похідної І і ІІ порядків.

4. Повний диференціал та його застосування до наближених обчислень.

5. Похідна функції за напрямом, градієнт функції та зв’язок між ними.

6. Диференціювання неявних функцій.

Означення 1. Функцією двох змінних називається закон А згідно якого парі чисел (х;у) Є D є R₂ ставиться у відповідність число z, і записується

z= f(x; y). (5.1)

Аналогічно функція n-змінних: U=f(x₁;x₂….x _n)

Маємо: U=f(x; y; z) (5.2)

Областю визначення функції (5.1) називається Dc R₂ для кожної точки якої має зміст правило F.

Лінією рівня функції z називається лінія на площині хОу,в кожній точці якої функція приймає одне й те ж значення. Рівняння лінії рівня = с, с -стала.

Поверхнею рівня функції u = називається поверхня, в кожній точці якої функція приймає однакові значення. Рівняння поверхні рівня = с, с -стала.

Лінії рівня для функції (5.1) ¾ це сукупність кривих f(x,y)=const=C(1.3) (Z=C)

2 y

-2

2 x

-2

C=z=0 C=z=1

x²+y²=4 x²+y²=3

Кожній точці лінії рівня функції (5.1) приймає одне і те ж стале значення.

Для функції трьох змінних говорять про поверхні рівня в кожній точці яких функція приймає стале значення.

u=const або f(x,y,z)=const ¾ поверхні рівня u =x²+y²+z²

x²+y²+z²=const ¾ набір сфер зі спільним центром.

Приклад 1. Знайти область визначення D(f) функції z=f(x;y).Подати геометричне зображення множини: z=arcsin(x²-y²)

-1≤ x²- y ²≤ 1

D{(x; y): -1≤ x²- y ²≤ 1}

x²- y ²≤ 1

x²- y ²≥ -1

x ²- y ²=1 – гіпербола

0≤1

Приклад 2. Знайти область визначення D(f) функції z=f(x;y).Подати геометричне зображення множини: z=√9-x²-y².

9-х²-у² ≥0

-х²-у²= -9

х²+у²= 9 – півсфера.

Графіком функції(1.1) є деяка поверхня в просторі R₃.

Зв’язок між поверхнею і графіком функції:

Проекція графіка функції на площину ХОУ співпадає з графіком.

Приклад 3.

Розв’язання:

Приклад 4.Знайти область визначення D наступних функцій:

a) ;

Розв`язання.

а) область визначення О даної функції - мно­жина тих точок (х, у), для яких 4-х² —4y²>0,6о логарифмічна функція визначена тільки для додатних значень аргумента.

Щоб зобразити область £ > геометрично, знайдемо її межу

4-х² —4y²=0 або або

Це рівняння визначає в площині хОу еліпс з півосями а = 2 та b = 1. Даний еліпс ділить всю площину на дві частини. Для точок однієї з цих час­тин 4 - х² - 4у² > 0 , для другої 4 - х² - 4у² < 0 .

Щоб виявити, яка з частин є областю визначення даної функції, тобто задовольняє умові 4-х² -4у² > 0, достатньо перевірити цю умову для будь-якої однієї точки, яка не лежить на еліпсі. Наприклад, точка О(0,0) нале­жить області D, бо 4 - О² - 4 • О² = 4 > 0.

Отже, внутрішніми точками області D даної функції є точки, обме­жені еліпсом. Сам еліпс не належить області D тому, що для точок еліпса 4-х²-4y² = 0 . Область D -відкрита область (мал.7.1). На мал.7.1 межа області позначена пунктиром.

б) область визначення D даної функції мно­жина точок (х, у, z) , для яких -х² -у² +2z > 0 або х² + у² =< 2z .

Межа цієї області х +у = 2z . Це рівняння параболоїда обертання. Параболоїд обертання ділить весь простір на дві частини, для точок однієї з яких х² + у² =<2z , для іншої х² + у² > 2z .

Для виявлення, яка з частин задовольняє умові х² + у² < 2z, візьме­мо одну з точок, яка не лежить на параболоїді обертання, наприклад, точку (0,0,1). Ця точка належить області В , бо О² +0² < 2 ∙ 1.

Отже, областю D визначення даної функції є область, що міститься всередині параболоїда обертання, включаючи і його межу.

Повним приростом функції у точці називається величина

тут

Частинним приростом функції у точці по змінній називається величина

Для функції 5.1 розглянемо повний приріст. Можна довести, що приріст записується у вигляді

(1.4)

(1.5)

Границя та неперервність функції. Число А називається границею функції u = в точці ,

якщо для будь-якого 0 існує таке 0 , що для всіх точок ,

які задовольняють умові

виконується нерівність

При цьому пишуть:

A=

Функція називається неперервною в точці який виконуються умови:

1) функція визначена в точці

2)

3)

Якщо в точці хоча б одна з вказаних умов порушується, то називається

точкою розриву функції Точки розриву можуть бути ізольованими, утворювати лінії

розриву, поверхні розриву, тощо.

Функція називається неперервною в області, якщо вона неперервна в кожній точці цієї

області.

Частинні похідні. Частинною похідною функції u = позмінюй у точці

називається

границя

якщо вона існує.

Позначення: .

Таким чином,

= (1.3.1)

Для функції двох змінних z маємо:

= =

(2.2)

З означення випливає, що частинна похідна по змінній знаходиться у припущенні, що решта аргументів стала, а змінюється тільки аргумент . При цьому зберігаються всі правила диференціювання функцій однієї змінної. Тобто, щоб знайти частинну похідну , треба взяти звичайну похідну функції по змінній , вважаючи решту змінних сталими.

Частинними похідними другого порядку функції и = /(х₁ ,х₂,..-,х_п) називаються частинні похідні від її частинних похідних першого порядку.

Наприклад,

Похідна називається мішаною частинною похідною другого порядку по змінних x_i. Xj Для функції двох змінних z = f(х,у) маємо похідні другого порядку

Аналогічно визначаються та позначаються частинні похідні порядку вище другого.

Мішані похідні, що відрізняються одна від одної лише послідовністю диференціювання, рівні між собою за умови їх неперервності. У цьому ви­падку кажуть, що результат диференціювання не залежить від порядку диференціювання,

інних x_i. Xj

Приклад 5. Знайти величину найбільшої швидкості зміни функції

в точці М₀(1, 0, 3).

Розв`язання .Частинні похідні першого порядку в цьому випадку будуть

Величину найбільшої швидкості зміни заданої функції U в будь якій точці знайдемо за формулою (4):

Підставимо замість x,y,z координати точки М₀ ,тоді

(одиниць виміру)

Диференціал функції та його застосування. Функція u = називається

диференційовною в точці Р , якщо ЇЇ повний приріст може бути представлено у вигляді

u= (1.3.2)

де =

Повним диференціалам функції и = в точці Р називається головна частина

повного приросту функції , лінійна відносно приростів аргументів.

Повний диференціал визначається за формулою:

du=

або du= (1.3.3)

Тут враховано, що .

Для функції двох змінних

d= x+ y

або

d= d x+ dy. (1.3.4.)

Мають місце такі правила знаходження диференціалів:

d (u+-)=du+-d d(u)= du+ud  ,  0.

Тут u та - функції багатьох змінних. Повний диференціал використовується

в наближених обчисленнях. Враховуючи, що при малих значеннях р має

місце наближена рівність

маємо

або

(1.3.5.)

Зокрема ,для функцій двох змінних z=f (x,y) маємо

(1.3.6.)

Формули (2.6), (2.7) використовуються в наближених обчисленнях

Диференціалом другого порядку від функції и=f (х_их₂,...,х_п) на­зивається диференціал від її повного диференціала, тобто d²u=d(du)

Аналогічно визначаються диференціали порядку вище другого: d³u=d(d²u);взагалі d^mu=d(d^m-1u)

Якщо х_х,х₂,---,х„ - незалежні змінні і функція и=f(х₁,х₂,...,х_и) має неперервні частинні похідні, то диференціал т -го порядку виражаєть­ся символічною формулою:

яка формально розкривається за біноміальним законом.

Зокрема,

При n=2,m=3 маємо

(1.3.7.)

(1.3.8)

Повним диференціалом функції (1.1)

Називають головну лінійну по частину приросту функції (1.5)

(1.6)

(1.7)

Приклад 6.Знайти диференціал

Розв’язання

Розглянемо застосування диференціалу до наближених обчислень зі формул 1.5 і 1.6

(1.8)

(1.9)

За формулами 1.9 проводять не наближені обчислення

Диференціювання складних функцій

1. Якщо - диференційовна функція змінних , які самі є диференційовними функціями незалежної змінної t:

то похідна складної функції обчислюється за формулою

(2. 8)

Зокрема, для функції двох змінних u=f(x,y) де , ,

Маємо

(1. 9.1)

2. Якщо - диференційовна функція змінних ,де , …, -диференційовні функції змінної x₁ ,то маємо формулу повної похідної

(1.9.2)

крема, для функції трьох змінних u=f(x,y,z), де у = у(х), г = г(х), маємо формулу повної похідної

(1.9.3)

З. Якщо де x_i = -диференційовані функції змінних t_j , .

(1.9.4)

Зокрема, для функції двох змінних z=f(x,y),де ), маємо

(1.9.5)

Приклад 7.Знайти наближене значення функції

В точці М₁(1,03 1,97).

Розв`язання. Потрібне значення заданої функції знайдено за формулою (6), Нехай М₀(1,2), тоді

Підставимо ці значення у формулу (6), що одержимо.

Z(M)=13+6*0,03+14(-0,03)=13+0,18- 0,42=12,76

Похідна за напрямом .Похідною функції u = f(x,y,z) заданим напрямом в точці M₀ називається границя , яка начинається або Тут

Отже, за означенням = .

Якщо функція диференційована ,то має місце формула

де -напрямлені косинуси вектора

Аналогічно визначається похідна за напрямком для функцій двох змінних

z=f(x,y)

де -напрямлені косинуси вектора .

Похідна за напрямком характеризує швидкість зміни функції за даним напрямком.

Градієнт функції u=f(x,y,z) називається вектор ,проекціями якого на координатні осі є відповідні частинні похідні даної функції

Для функцій двох змінних u=f(x,y)

.

Градієнт вказує напрямок найшвидшого зростання функції в даній точці.

Похідна у напрямі градієнта має найбільше значення ,тобто у напрямі =grad u:

Градієнт функції в кожній точці направлений по нормалі до відповідної поверхні рівня (лінії рівня).

Диференціювання неявних функцій

1.Неявні функції однієї та багатьох змінних

Нехай функція задана неявно рівнянням

,

Де F диференційовна функція змінних ,u. Тоді частинні похідні функції U по змінних обчислюються за формулами

(1.9.6)

Зокрема, якщо функція y=y(x) задано рівнянням

F(x,y)

Де F-диференційована функція змінних x,y ,то

(1.9.7)

Аналогічно ,частинні похідні функції z= заданої неявно рівнянням

F(x,y,z)=0

де F(x,y,z )-диференційована функція змінних x,y,z обчислюється за формулами:

(1.9.8)

2. Система неявних функцій

Обмежимось розгляданням функцій двох незалежних змінних.

Нехай система двох рівнянь

Визначає u і v як диференційовані функції змінних x і y якобіан

Тоді диференціали du і dv цих функцій (а отже і частинні похідні) можна знайти з системи рівнянь

Диференціювання параметрично заданих функцій

Нехай функція z незалежних змінних x i y задана параметричними рівняннями

x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v),

то

Тоді диференціал dz цієї функції (а отже, і частинні похідні)можна знайти з системи рівнянь

Знаючи диференціал dz = pdx+qdy, знаходимо частинні похідні

і .

Контрольні питання

1. Дайте означення функції п змінних, її області визначення та області значень.

1. Дайте означення функції двох змінних та її області визначення. Який геометричний зміст цих понять?

2. Що називається лінією рівня функції г = f(х, у) ?

3. Дайте означення поверхні рівня функції и =f(х,у,г).

4. Побудуйте поверхню г = х² +4у² та її лінії рівня.

5. Запишіть вирази для повного та частинного приросту функції z =f (х,у).

7. Дайте означення границі функції и = f/(Р) в точці Р_о.

8. Дайте означення неперервності функції и = f(Р) в точ­ці Р_о .

9. Визначіть частинні похідні функції и = f(Р) в точці Р_о.

10. Сформулюйте правило знаходження частинних похідних функції и =(х,,х₂,...,х„).

11.Наведіть означення повного диференціала функції п змінних; двох змінних.

12. Як застосовується повний диференціал в наближених обчисленнях?

13. За якими формулами проводиться диференціювання складних функцій?

14. Запишіть формулу повної похідної.

15. Дайте означення похідної за напрямом.

16. Дайте означення градієнта функції.

17. Як зв'язані похідна за напрямом і градієнт?

18. Сформулюйте правило диференціювання неявно зада­ ної функції.

19. Як проводиться диференціювання системи неявно зада­ них функцій?

20. Які правила диференціювання параметрично заданих функцій?

21. Визначіть і вкажіть правила знаходження похідних і диференціалів вищих порядків.

Завдання для самостійного виконання:

Знайти повні диференціали заданих функцій

Завдання для контрольного виконання: