Тема 2. Інтегрування дробово – раціональних функцій.

1. Означення дробово–раціональної функції. Види дробів. Виділення цілої частини.

2. Найпростіші раціональні дроби та їх інтегрування.

3. Розклад правильного раціонального дробу на суму найпростіших.

Дробово – раціональною функцією називають частку двох многочленів (2.1)

Q_m(x)=Q_m x^m + Q_m-1 x^m-1+…+Q₁x+a₀

P_n(x) = b_nxⁿ + b_n-1x^n-1 + …+b₁x + b₀

P₂(x) = 3x² + 5x-7

P₂(x) = Ax² + Bx + c – загальний вигляд

Q₂(x) = -3x²+2

P₀(x) =3

P₀(x) =A – загальний вигляд многочлена нульового степеня.

R_(x) = - правильний дріб

R_(x) = - неправильний дріб

m<n – то дріб (2.1) називають правильним

m n – то дріб (2.2) називають неправильним.

Неправильний дріб завжди можна записати у вигляді цілої частини і правильного дробу.

4x²+x+2 2x-1

4x²-2x

3x+2

Найпростішими дробами називають дроби виду:

1.

2.

3. у знаменнику виділяємо повний квадрат і зводимо до

табличних інтегралів (14 або 13)

4. у чисельнику утворюємо похідну знаменника і зводимо до суми дробів 3 і інтеграла, який береться за формулою 13.

1)

2)

3)

Зауваження: аналогічно як дроби 3),4) знаходяться слідуючи інтеграли:

(виділяємо повний квадрат знаменника)

(в чисельнику утворюємо похідну знаменника і розбиваємо на 2 інтеграла) один з яких знаходиться за формулою 18, а в другому виділяємо повний квадрат. 1)

2)

3)

4.

Правило розкладу правильного дробу на суму найпростіших:

1.Знаменник правильного дробу розкладаємо на множники виду (х-а); (х-а)^к , х² +рх+q (Д<0)

2.Кожному множнику ставимо у відповідність найпростіший дріб, а саме:

(2.2)

3.Правильний дріб прирівняємо до суми найпростіших дробів, і отриману рівність розглядаємо як рівняння відносно невідомого , які необхідно підібрати так, щоб найпростіші дроби (2.2) в сумі давали правильний дріб. Для цього використовують метод невизначених коефіцієнтів, в основі якого покладено 2 положення

а)Два многочлени рівні між собою, якщо рівні коефіцієнти при однакових степенях х;

б)Рівні многочлени приймають однакові числові значення при конкретних значеннях х.

Розкласти правильні дроби на суму найпростіших:

1.

2.

х=0; 2= - 6А

х= - 6; 110 = 42 В

х=1; 5=7С,

Знайти інтеграл :

Висновок: раціональний дріб у випадку коли він правильний розкладаємо на суму найпростіших, а потім інтегруємо. Якщо дріб не правильний, то виділяємо цілу частину і записуємо у вигляді суми цілої частини правильного дробу. А потім, розклавши правильний дріб на суму найпростіших інтегруємо

1=А(х²+1) + Вх (х-3)+С(х-3)

х=3:1=10А

х²:0=А+В

х:0=-3В+С

Приклади:

1.

3x²+2=A(x-2)²+A₁(x-2)·x+A₂·x

x=0: 2=4A, A=

x=2: 14=2A₂, A₂=7

x²: 3=A+A₁, A₁=3- ₌

2.

x⁴+3x x³+1

x⁴+x x

2x

x=A·(x²-x+1)+B·x·(x+1)+c(x+1)

x=-1: -1=3A, A=-

x²: 0=A+B, B=

x: 1=-A+B+C, C=1-

Питання для самоконтролю:

1. Означення правильного дробу

2. Як виділити цілу частину неправильного дробу

3. Назвіть найпростіші дроби

4. Як інтегрується дріб виду

5. Сформулюйте правило розкладу правильних дробів на суму найпростіших.

Завдання для самостійного розв’язання:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.