3. Властивості визначників:

1. Значення визначника не змінюється, якщо всі його рядки замінити стовбцями, причому кожний рядок замінити стовбцем з тим самим номером.

Ця властивість означає рівнозначність рядків і стовбців визначника;

2. Якщо поміняти місцями два стовбці (рядки) визначника, то визначник поміняє знак на протилежний.

3. Визначник, який має два однакові стовбці (рядки), дорівнює нулю.

4. Якщо всі елементи якого-небудь рядка (стовбця) мають спільний множник, то його можна винести за знак:

а₁₁ mа₁₂ = m а₁₁ а_{12 (1.3)_}

а₂₁ mа₂₁ а₁₁ а₁₂

5. Визначник, елементи двох стовбців (рядків) якого відповідно пропорційні, дорівнює нулю.

6. Якщо кожний елемент якого-небудь стовбця (рядка) є сумою двох доданків, то визначник дорівнює сумі двох визначників, у яких стовбцями (рядками) є відповідні доданки, а решта збігається зі стовбцями (рядками) заданого визначника:

а + а а₁₂ = а а₁₂ + а а₁₂

а + а а₂₂ а а₂₂ а а_{22 (1.4)}

7. Визначник не змінюється, якщо до елементів якого-небудь його стовбця (рядка) додати відповідні елементи іншого стовбця (рядка), помножені на одне і те саме число.

8. Сума добутків елементів a_ij деякого рядка (стовбця) визначника на алгебраїчні доповнення елементів іншого рядка (стовбця) дорівнює нулю:

= = 0, (1.5)

i ≠ j; i,j = 1, 2, …, n

9. Якщо всі елементи деякого стовбця (рядка) дорівнюють нулю, то і сам визначник дорівнює нулю.

4. Визначником n-го порядку називають число, яке позначають:

а₁₁ а₁₂ а_1n

а₂₁ а₂₂ а_2n ≡ ∆

… … …

а_n1 а_n2 а_nn

і обчислюють за формулою:

∆ = а_i1*A_i1 + a_i2*A_i2 +…+ a_in*A_{in (1.6)}

Приклад 9. Обчислимо визначник четвертого порядку:

3 -2 4 0 3 -2 4 0 3 -2 4

- 3 1 -2 1 2 = -3 1 -2 1 = 1*А₂₄ = М₂₄ = -7 2 -1 =

- 1 0 3 -2 -7 2 -1 0 1 2 1

4 1 2 -1 1 2 1 0 -2

-1

3 -8 1

-7 16 6 = А₃₁ = М₃₁ = -8 1 = -48-16 = -64

1 0 0 16 6

5. Теорема Крамера:

Якщо в системі рівнянь (1.1) m = n і

1. ∆ ≠ 0, то система має єдиний розв’язок, який знаходиться за формулами Крамера:

χ_j = , j = ; (1.7)

2. ∆ = 0 і всі ∆_j = 0, j = , то система має безліч розв’язків;

3. ∆ = 0 і хоча б один із допоміжних визначників відмінний від нуля, то система немає розв’язків, де ∆ - головний визначник системи, ∆_j (j = ) – допоміжні.

Приклад 10.

х₁ – 2х₂ + х₃ = 0

2х₁ + х₂ = 2

3х₂ + 2х₃ = -2

∆ - головний визначник;

∆_j – допоміжний визначник;

1 -2 1 1 -2 1 2 1

∆ = 2 1 0 = 2 1 0 = -2 7 = 16 ,

0 3 2 -2 7 0

16 ≠ 0 – система має єдиний розв'язок, який знаходиться за формулою:

χ₁ = , χ₂ = , χ₃ =

∆ ₁ = 0 -2 1 = 0 -2 1 = 16

2 1 0 2 1 0

-2 3 2 -2 7 0

∆ ₂ = 1 0 1 = 1 0 0 = 0

2 2 0 2 2 -2

0 -2 2 0 -2 2

∆ ₃ = 1 -2 0 = 1 0 0 = -16

2 1 2 2 5 2

0 3 -2 0 3 -2

_{х 1} = = 1 х₂ = = 0 х₃ = =-1

Відповідь: (1;0;-1).

Приклад 11.

х₁ – 2х₂ + х₃ = 2

-х₁ + х₂ - 3х₃ = 1

- х₂ - 2х₃ = 3

∆ = 1 -2 1 = 1 -2 5 = - (-1) 1 5 = 0

-1 1 -3 -1 1 -5 -1 -5

0 -1 -2 0 1 0

∆ ₁ = 2 -2 1 = 0 -4 7 = - -4 7 = 0

1 1 -3 1 1 -3 -4 7

3-1 -2 0 -4 7

∆₂ = 0

∆₃ = 0 – другий випадок теореми

Це означає, що рівняння залежні, одне із них знаходиться із двох інших, тому одне із трьох викидається.

х ₁ – 2х₂ + х₃ = 2

- х₂ - 2х₃ = 3

х₂ = α

х ₁+ х₃ = 2 + 2α

– 2х₂ = 3 +α

∆ ₁ = 1 1 = -2 ≠ 0

0 -2

∆ ₂ = 2 + 2α 1 =-7-5α

3 +α -2

∆ ₃ = 1 2 + 2α = 3+α

0 3 +α

х₁ =

х₂ = α - загальний розв’язок системи, α є R.

х₃ =

При α = 0, отримаємо розв’язок ( ; 0; - ).

Приклад 12.

х₁ + 2х₂ - х₃ = 2

2х₁ + х₂ +3х₃ = -3

3х₁ + 3х₂ + 2х₃ = 4

1 2 -1

∆ = 2 1 3 = 2 + 18 – 6 + 3 – 8 – 9 = 0

3 3 2

2 2 -1

∆ = -3 1 3 = 4 + 24 + 9 + 4 + 12 – 18 = 53 -18 = 35 ≠ 0

4 3 2

Отже, система немає розв’язків (3-й випадок теореми).

6. Матрицею розмірності nхm називають прямокутну таблицю з чисел:

а₁₁ а₁₂ … а_1m

а₂₁ а₂₂ … а_2m

… … … A (1.8)

а_n1 а_n2 … а_nm

Якщо n ≠ m, то матрицю називають прямокутною.

Символічний добуток числа рядків k на число стовпців n матриці nхm назиєвається розмірністю.

Види матриць:

1. Прямокутна

2. Квадратна

3. Транспонована

4. Кульова

5. Діагональна

6. Одинична

7. Симетрична

= 2 -3 = 2 -1 1 -3 = 1 -2 3 = 1

0 4 0 4 0 2 0 1 4 2

1 2 -1 2 0 0

О диничною матрицею називається матриця, яка при множенні на одну матрицю не змінює її елементів.

1 0 ... 0 0

Е = 0 1 ... 0 0 Е: А*Е = Е*А = А (1.9)

0 0 ... 1 0

0 0 …0 1