Питання для самоперевірки

1. Означення границі числової послідовності та тлумачення її геометричного змісту.

2. Дайте означення границі функції.

3. Що називається областю визначення та множиною значень функції?

4. Дайте означення односторонніх границь.

5. Назвіть умову існування границі функції.

6. Наведіть першу чудову границю.

7. Дайте означення нескінченно малої змінної величини, нескінченно великої.

8. Який зв'язок між нескінченно малими і нескінченно великими змінними величинами?

9. Які нескінченно малі називаються еквівалентними?

10. Назвіть властивості границь.

Завдання для самостійного розв’язання

Знайти вказані границі:

1. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

Тема 8.Неперервність функції. Теореми про неперервні функції.

1. Означення неперервності функції. Умова неперервності.

2. Неперервність функції. Класифікація розривів функції.

3. Неперервність елементарних функції.

4. Основні властивості неперервних функцій.

5. Похилі і вертикальні асимптоти.

1

Означення 1. Функція y=f(x) називається неперервною в точці х = а, якщо:

1. х = а є ОДЗ (визначена в точці) (8.1)

2. (8.2)

Якщо одна із умов порушена, то функція називається перервною, розривною в т. х = а.

Приклад 1. Дослідити на неперервність функцію

х

х = 3 не належить ОДЗ, тому в цій точці функція перервна. Всі інші точки належать.

х = 4 ОДЗ

f(4) = 2+16=18

18=18

В точці х = 4 функція неперервна. Аналогічна картина буде в усіх інших точках із ОДЗ.

Для вияснення поведінки функції в околі точки розриву знаходять односторонні границі, тобто перевіряють слідуючи умову неперервності функції:

(8.3)

2

Означення 2. Якщо умова (8.3) не виконується, то функцію називають неперервною в точці х = а або розривною.

Приклад 2.

- умова (8.3) порушена, тому функція перервна в точці х = 3.

Якщо односторонні границі дорівнюють різним скінченим числам, то в точці розрив першого роду.

Якщо односторонні границі нерівні між собою і принаймні одна з них нескінчене число, то в точці розрив другого роду.

Точка х = 3 є точкою розриву другого роду.

Приклад 3. Дослідити на неперервність функцію

1. ОДЗ х

Підозрілими на розрив є т. х=0, х=2, х=4. перевіримо умову (8.3) для кожної точки окремо. Точка х=-2 є точкою розриву.

х = 0

х = 0

умова (8.3) порушена в точці розриву першого роду.

х = 2 5 = 5 f(2) =

5=5=5=5 умова (8.3) виконана в точці x-2 функція перервна.

х = 4

в точці х = 4 розрив першого роду

х = -2

в точці х = -2 розрив другого роду.

Будуємо графік цієї функції

Приклад 4. Дослідити функцію + 1 на непе­рервність в точках х₁= 2, x₂= 3 .

Для точки х₁= 2 маємо:

f(2+0)=

f(2-0)=

Отже, в точці х₁= 2 функція має розрив другого роду.

Для точки х₂ = 3 маємо:

f(3+0)=

f(3-0)=

f(3)=

Отже, в точці х₂ = 3 функція неперервна.

3

Ціла раціональна функція неперервна на всій числовій осі . Дробово-раціональна функція як частка від ділення двох неперервних функцій є неперервною всюди, за винятком точок, в яких знаменник дорівнює нулю. Таких точок неодмінно скінчене число, оскільки число коренів цілої раціональної функції не більше найвищого показника степеня многочлена, який стоїть у знаменнику, причому це точки розриву другого порядку.

Вже було сказано, що функція y = sinx неперервна на всій числовій осі R. Те саме стосується й функції y = cosx. Щодо функцій

і , то ці функції мають розрив другого порядку в точці і , де п Z.

Включаючи ці точки, виявимо, що функції , неперервна в за винятком зчисленої множини точок. Можна показати, що неперервними є функції y = arcsinx в [-1; 1], y = arccosx в [-1; 1], y = arctgx в , y=arcctgx в , y = logax в , y = в як строго монотонні функції, вони є в кожній точці сегмента та мають границю і, отже, неперервна. Тому обернені тригонометричні функції неперервні в інтервалі своєї строгої монотонності.