4 Основні властивості границі змінної величини.

1. Якщо х = с – постійна величина, то lim c =с, тобто границя постійна величина дорівнює самій постійній.

2. Границя алгебраїчної суми скінченої кількості змінних величин, що мають границі, дорівнює такій же алгебраїчній сумі границь доданків

3. Границя добутку скінченої кількості змінних величин, що мають границю, дорівнює добутку границь множників, тобто:

4. Границя частки від ділення двох змінних величин дорівнює частці від ділення їх границь, якщо тільки границя дільника не дорівнює 0.

5

Означення 6. Змінна величина х називається нескінченно ма­лою, якщо в процесі її зміни наступить такий момент, почи­наючи з якого, абсолютна величина змінної х стає і залишаєть­ся менше будь-якого, скільки завгодно малого, наперед заданого додатного числа є, тобто | х | < ξ.

Нескінченно малі величини найчастіше позначають літера­ми α, β, γ.

Наприклад, величина при є нескінченно малою.

Зауваження 1. Нескінченно мала величина є змінною величиною. Але, якщо постійну величину О розглядати як змінну величину, що приймає одне й те ж значення, то в цьому розумінні вона є нескінченно малою, тобто якщо α = 0, то нерівність | α |< ξ ви­конується для будь-якого ξ > 0.

Жодну іншу постійну величину, якою би малою вона не була, не можна назвати нескінченно малою.

Означення 7. Змінна величина х називається нескінченно ве­ликою, якщо в процесі її зміни наступить такий момент, почи­наючи з якого абсолютна величина х стає і залишається більше будь-якого, скільки завгодно великого, наприклад заданого додат­ного числа N, тобто | x | > N.

Наприклад, величина 10ⁿ при є величина нескінченно

велика.

Між нескінченно великими і нескінченно малими величинами існує простий зв'язок: якщо х нескінченно велика величина, то - нескінченно мала, і навпаки, якщо у — нескінченно мала і у ≠ 0, то х = буде нескінченне великою величиною.

Тому можна довести, що алгебраїчна сума скінченної кількості нескінченно великих величин буде величиною нескінченно ве­ликою, добуток нескінченно великої величини на обмежену величин також буде нескінченно великою величиною.

Означення 8.Нескінченно малі величини називаються нескінченно малими одного порядку, якщо їх відношення має скінчену границю. Відмінну від 0, тобто якщо . Якщо k = 1, то називаються еквівалентними нескінченно малими величинами.

Означення 9.Якщо відношення двох нескінченно малих величин є нескінченно мала величина, тобто , то називається нескінченно малою величиною вищого порядку малості в порівнянні з .

6 Техніка знаходження границь.

1)

2)

3) - невизначеність

4)

?

?

5)

6)

7)

8)

9)