Тема 7. Вступ в математичний аналіз. Поняття границі та методи її знаходження.

1. Означення функції, область визначення функції, множина значень. Основні елементарні функції та їх графіки (у=а^х, y=lnx, у=arctgx, y=arcctgx) .

2. Поняття границі числової послідовності.

3. Поняття границі функції. Односторонні границі, умова існування границі функції.

4. Поняття границі змінної величини. Основні властивості границі змінної величини.

5. Нескінченно малі і нескінченно великі змінні величини та їх властивості.

6. Техніка знаходження границь.

7. Перша чудова границя та її застосування для розкриття невизначеності .

8. Друга чудова границя (без доведення) та її застосування до розкриття невизначеності .

9. Застосування другої чудової границі у банківській справі. Неперервне нарахування відсотків на капітал.

1 Означення функції.

Означення 1. Функцією називають правило або закон f, згідно якого деякому значенню змінної величини ставиться у відповідність змінна і записують так y=f(x).

Область визначення функції: сукупність усіх числових значень, які може приймати аргументи x і при яких функція визначена.

Функцію однієї змінної можна задати аналітично, таблично, графічно, мовно й за допомогою комп’ютерних програм.

Функцію у=f(x) називають однозначною, якщо кожному значенню х відповідає одне значення у. Функцію у називають багатозначною, якщо кожному значенню х відповідає кілька значень у.

При аналітичному значенні функція задається однією або кількома рівностями, що зв’язують залежні і незалежні змінні.

При табличному способі функціональна залежність задається у вигляді таблиці, в якій для кожного числа значення х вказано відповідне числове значення у.

Графічний спосіб найбільш наглядний і базується на застосуванні методу координат. Функціональну залежність зображають лінією.

Елементарні функції

1. Степенева у = хⁿ

2. Показникові у = а^х а > 0, а 1

3. Експоненціальна у = е^х е = 2,7182

4. Логарифмічна у = log_a^x а >0, а 1

5. Натуральний логарифм у = lnx

6. Тригонометричні y = cosx (sin, tg, ctg, sec, cosec)

7. Оберенено тригонометричні y = arcsinx, y=arctgx.

2

Означення 2. Число а називають границею, деякої змінної величини, якщо для будь-якого завгодно малого додатного числа ξ ( ξ >0) знайдеться або наступить такий момент в зміні її значень, починаючи з якого виконується нерівність ξ

- ξ < х – а < ξ

а – ξ < х < а + ξ

а- ξ а а+ ξ

Інтервал (а – ξ; а + ξ) = ξ _а і називають епсілон окіл точки а . Tому можна коротко сказати означення границі: число а називають границею змінної величини х, якщо для будь-якого ξ окoлy (ξ _а) точки а наступить такий момент її зміни, починаючи з якого всі її значення попадуть в цeй окіл. Запис. так : х → а.

Означення 3. Число а називають границею числової послідовності , якщо ξ > 0 N = N(ξ) ≥ N: ξ, тобто є ξ_a.

Записують так: =а або

Приклад 1.

, , , .

ξ <

ξ <

і т. д. ξ

Висновок: яке б мале число ξ ми не взяли, то завжди знайдеться номер N починаючи з якого в епсілон околі точки 2 буде нескінченна кількість членів послідовності, а поза ним – скінчена, тому точку 2 називають границею даної послідовності.

3

цей запис означає: ξ >0 (ξ)>0 із виконання нерівності < слідує виконання нерівності < ξ.

Приклад 2.

ОДЗ: х є

границя зліва

границя справа

Тому границя не існує.

Односторонні границі: - границі зліва,

- границя зліва.

Умова існування границі функції: границя зліва дорівнює границі справа. . (7.1)