4.2. Канонічні рівняння прямої

Н ехай задано точка М₀(х₀;у₀;z₀) на прямій L та вектор =(l,m,p) паралельній прямій. знайдемо рівняння цієї прямої. Візьмемо довільну точку М(х; у; z) на прямій і розглянемо вектор

= (x – x₀; y – y₀; z – z₀)

Вектори та паралельні, тому їх координати пропорційні.

(6.8)

Якщо точка М не належить прямій , тоді координати цих векторів не пропорційні і (6.8) не має місця. Отже, співвідношення (6.8) є рівнянням прямої L, які називають канонічними рівняннями прямої.

Приклад №4

Пряма L задана загальними рівняннями:

Написати канонічні рівняння цієї прямої, а також рівняння її проекції на площину Оxz.

Розв’язання: Знайдемо точку А₀(х₀;у₀;z₀) на прямій L. З цією метою задаємо одну з координат, наприклад х = 0, а дві інші отримаємо з системи рівнянь, що одержана з даної при х = 0. Система набуває вигляду

Маємо: А₀(0,2,2) на прямій L.

За напрямний вектор візьмемо вектор = де - нормальні вектори площин, лінією перетину яких є задана пряма.

Таким чином,

і канонічні рівняння прямої

L:

Отримана пропорція еквівалентна системі трьох рівнянь

або

які описують три площини, що проектують пряму на координатні площини Oxy, Oxz і Oyz відповідно.

4.3 Параметричні рівняння прямої

Позначимо через t загальне значення відношень канонічних рівнянь прямої L:

= t

Звідси одержуємо:

(6.9)

Ці рівняння називаються параметричними рівняннями прямої в просторі.

Приклад №5

Скласти канонічні рівняння прямої, що проходить через точки М₁(3,-5,2), М₂(1,-1,-4).

Розв’язання: За формулами (6.9) маємо:

Контрольні питання

1. Що таке поверхня в просторі.

2. Записати рівняння лінії в просторі.

3. Записати загальне рівняння площини.

4. Записати рівняння площини, що проходить через задану т. М₀(х₀;у₀;z₀) перпендикулярно заданому вектору =(А, В, С).

5. Записати рівняння площини, що проходить через три точки М₁(х₁;у₁;z₁), М₂(х₂;у₂;z₂), М₃(х₃;у₃;z₃).

6. Записати рівняння прямої, що проходить через дві точки

7. Записати канонічні рівняння прямої у просторі та вказати геометричний зміст параметрів, що входять в ці рівняння.

8. Вкажіть геометричний зміст величин А, В, С в загальному рівнянні площини.

9. Що являє собою напрямний вектор прямої лінії в просторі?

10. Записати параметричні рівняння прямої.

Завдання для самостійного виконання

1. Задані площина Р і точка М. Написати рівняння площини Р', яка проходить через точку М паралельно площині Р, та обчислити відстань р (Р,Р'), якщо:

а) Р: -2x+y-z+1=0, M(1,1,1);

б) Р: x-y - 1=0, M(1,1,2).

2. Написати канонічне рівняння прямої L, яка проходить через точку М₀(2,0,-3) паралельно осі Ох і осі Оz.

3. Написати рівняння площини Р, яка проходить через точку М паралельно векторам і , якщо:

а) M(1,1,1), =(0,1,2), =(-1,0,1),

б) M(0,1,2), =(2,0,1), =(1,1,0).

4. Написати рівняння площини Р, яка проходить через точки М₁ і М₂

паралельно вектору , якщо:

а) М₁(1,2,0), М₂(2,1,1), =(3,0,1),

б) М₁(1,1,1), М₂(2,3,-1), =(0,-1,2).

5. Написати рівняння прямої L, яка проходить через дві задані точки М₁ і М₂, якщо:

а) М₁(1,-2,1), М₂(3,1,-1),

б) М₁(3,-1,0), М₂(1,0,-3).

6. Написати рівняння площини Р, яка проходить через три задані точки М₁, М₂ і М₃ якщо:

а) М₁ (1,2,0), М₂ (2,1,1), М₃(3,0,1),

б) М₁ (1,1,1), М₂ (0,-1,2), М₃(2,3,-1).

7. Пряма L задана загальними рівняннями. Написати для цієї прямої канонічне рівняння та рівняння у проекціях, якщо:

а) L:

б) L:

8. Написати канонічне рівняння прямої L, яка проходить через точку М₀(2,0,-3) паралельно вектору =(2,-3,5).

9. Написати рівняння площини Р', яка проходить через точки М₁ і М₂ перпендикулярно заданій площині Р, якщо:

а) Р: -x+y-1=0, М₁(1,2,0), М₂(2,1,1)

б) Р: 2x-y+z+1=0, М₁(0,1,1), М₂(2,0,1).

10. Написати канонічне рівняння прямої L, яка проходить через точку М₀(2,0,-3) паралельно прямій L:

11. Знайти відстань від точки А(2,3,-1) до заданої прямої L:

а) L:

б) L: х = 3t +5

у = 2t

z = -2t – 25

12. Звести до канонічного вигляду рівняння

х – у - 4х + 8х – 2z = 0

13. Побудувати площину, рівняння якої 3x-2y+6=0.