Питання для самоперевірки.

1. Що називають лінійним векторним простором?

2. Дайте означення лінійної незалежності векторів і лінійної залежності векторів.

3. Розкажіть про базис та розмірність лінійного векторного простору.

4. Запишіть формули для переходу від одного базису до іншого.

Задачі для самостійного розв’язання.

1. Показати, що вектори а, в, с утворюють базис. Знайти координати d у цьому базисі.

а (11; 1; 2)

в (-3; 3; 4)

с (-4; -2; 7)

d (4; 2; 13)

2. Знайти розмірність і базис простору.

3х1 – 4х2 + х3 – 5х4 = 0

2х1 - х2 + х3 – 4х4 = 0

5х1 – 5х2 + 2х3 – 9х4 = 0

3. Знайти:

а) усі можливі базиси системи векторів.

а1 = (1; 1; 1); а2 = (1; 2; 2); а3 = (1; 1; 3); а4 = (1; 1; -2).

б) координати а4 у базисі а1; а2; а3.

Змістовний модуль 2. Тема 4. Аналітична геометрія на площині. Пряма лінія на площині.

1. Основні задачі аналітичної геометрії.

2. Різновиди рівнянь прямої лінії на площині.

2.1. рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом: y = kx + b; рівняння вертикальної прямої: х = а

2.2. рівняння прямої, яка проходить через дану точку в заданому напрямі:

у – у₁ = kx – kx₁; y – y₁ = k (x – x₁)

2.3. рівняння прямої через 2 дані точки:

2.4. загальне рівняння прямої:

Аx + By + C = 0

3. Взаємне розміщення двох прямих на площині

3.1. точка перетину прямих:

3.2. кут між прямими: tgα =

3.3. умова паралельності прямих:

k₂ = k₁

3.4. умова перпендикулярності прямих:

k₁∙k₂ = -1

4. Множина розв’язків системи лінійних нерівностей

5. Задачі на пряму лінію

1. Лінія – це геометричне місце точок, координати яких задовольняють певним властивостям, тобто рівнянню:

F (x; y) = 0 (4.1)

х² + у² = 0 – не є лінією

х² + у² = 1 – не є лінією

Основні задачі:

1. За заданими властивостями лінії скласти її рівняння;

2. Задано рівняння ліній, вивчити її властивості і побудувати графік;

1. Дано, що пряма лінія утворює з віссю ОХ кут γ і на осі ОY відтинає відрізок ОВ. Скласти її рівняння.

у М

в

х х

tg γ =

tg γ = k – кутовий коефіцієнт прямої

, y-b = kx

y = kx + b (4.2)

х, у – координати довільної точки, b – відрізок на осі OY

у = -2х + 3

у′ = k, (kx)′ = k1

Для вертикальної прямої γ = 90°, а tg 90° не існує, тобто не існує кутового коефіцієнту і вона не описується рівнянням (4.2)

х = а (4.2*)

Рівняння (4.2), (4.2*) в сукупності задають все можливі прямі на площині:

ОХ: у = 0

OY: х = 0

γ = 0, то у = b – горизонтальна лінія

2.2. А (х;у), k – дано

Скласти рівняння

т. А → (2.1): у₁ = kx₁ + b

b = y₁ – kx₁ → (2.1)

y₂ = kx + y₁ – kx₁

y₂ – y₁ = kx – kx₁, y₂ – y₁ = k (x – x₁)

2.3. A (x₁;y₁), B (x₂;y₂)

B → (2.2): y₂ – y₁ = k (x₂ – x₁)

k = (6.2) → (2.2): y – y₁ = (x – x₁),

Задача 1.

Скласти рівняння прямої, яка проходить через т. А (-3;2) і утворює з віссю ОХ γ = 45°

Розв’язання:

y – y₁ = k (x – x₁)

k = tg 45° = 1

y – 2 = 1(x+3)

y = x + 3 + 2

y = x + 5

Задача 2.

Скласти рівняння прямої, яка проходить через т. А (2;-1), В (3;2)

,

у + 1 = 3 (х – 2)

у + 1 = 3х – 6, у = 3х – 7

Задача 3.

Побудувати прямі:

1. у = -3х + 2

2. 3у – 2х + 6 = 0

3. у = 2х

4. х – 4 = 0

5. 2у – 3 = 0

2.4. Теорема 1

Рівняння першого порядку з двома змінними задає пряму лінію на площині

Аx + By + C = 0 (2.1)

Доведення:

By = -Ax – C

1) B ≠ 0, тоді у =

y = kx + b

2) B = 0, Ax + C = 0

x = Q

Теорема 2 (обернена)

Пряма лінія задається рівнянням першого порядку.

Доведення:

y = kx + b, x = a

3.1. Взаємне розміщення на площині

3.2. Кут між прямими γ = γ + α

у α = γ – γ

tg α = (tg (γ – γ) =

tg α = (4.4)

0 х

Задача 4.

Знайти кут між прямими і точку перетину прямих:

1. 3х – у + 5 = 0

2. –х + 2у + 1 = 0

3х – у = -5

-х + 2у = -1

∆у =│^{3 -1}│ = 6 – 1 = 5

^{-1 2}

∆х =│^{-5 -1}│ = -10 – 1 = -11

^{-1 2}

∆і = │^{3 -5}│ = -3 – 5 = -8

^{-1 -1}

х = , у =

у = 3х + 5 l₁ = 3

y = ½x – ½ l₂ = ½

tg α = =

3.3. l₁║l₂; α = 0°, tg 0° = 0 = k₂ – k₁ = 0 k₂ = k₁ - умова паралельності прямих.

3.4. l ₂║l₁; α = 90°, tg 90° = Э (3.2): = Э 1 + k₂∙k₁ = 0 – умова перпендикулярності прямих.

Задача 5.

Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку А (-3;2)

1)║ 2х – 3у + 5 = 0

2) 2х – 3у + 5 = 0

y – y₁ = k (x – x₁)

k₂ = k₁

3y = 2x + 5

y = 2) y – y₁ = k (x – x₁)

k₁ = ; k₂ = k₁=

y – 2 = (x + 3) y – 2 =

y = + 2 + 2 y =

y = y =

Зауваження:

Середина відрізка знаходиться за формулами:

х = х1 + х2 ; у = у1 + у2 .

2 2

4. Множина розв’язків системи

Якщо розв’язками рівняння Ах + Ву + С = 0 є точки, які лежать на прямій, то розв’язками нерівності Ах + Ву + С > 0 буде півплощина обмежена цією прямою. Розв’язками системи нерівностей є спільна частина всіх півплощин, яка називається множиною розв’язків системи нерівностей.

Ця множина може бути відкрита, а може бути обмежена.

Побудувати множину розв’язків системи нерівностей

0 ≤ 6

Розв’язання:

3x – 2y = 0 x + 2 = 0

x│-2│

y│o │

x│ o│ 2│

y│-3│ 0│

y – x = 0

x│ o│ 1│

y│ o│ 1│

II. Приклад

x│ 3│ 0│

y│ 0│ 3│