Міністерство освіти і науки України

Полтавський національний технічний університет

Імені Юрія Кондратюка

Кафедра вищої математики

ПІДРУЧНИК

З дисципліни

“Вища математика для економістів “

для студентів економічних спеціальностей денної та заочної та дистанційної

форм навчання

Полтава - 2006

Полтавський національний технічний університет імені Юрія Кондратюка.

Укладач: М. М. Сєрова, канд. фіз.-мат. наук, доцент

Відповідальний за випуск завідувач кафедри вищої математики

М. І. Сєров, доктор фіз.-мат. наук, професор

Затверджено науково-методичною радою університету

Протокол № від 2006 р.

Редактор Н. В. Жигилій

Коректор Н. О. Янкевич

Зміст

I семестр

Змістовний модуль №1

Тема1. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь і методи їх розв’язання………4

Тема 2.Елементи векторної алгебри. Вектор в просторі R3……………………22

Тема 3.n – вимірний лінійний простір. Перехід від одного базиса до іншого...26

Змістовний модуль №2

Тема 4. Аналітична геометрія на площині. Пряма лінія на площині…………..33

Тема 5. Криві другого порядку……………………………………………………39

Тема 6. Деякі елементи аналітичної геометрії в просторі………………………47

Тема 7. Вступ в математичний аналіз. Поняття границі та методи її зна -

ходження......................................................................................................53

Тема 8.Неперервність функції.Теореми про неперервні функції.........................67

Тема 9.Поняття похідної.Похідні функцій,заданих явно,неявно,параметрично 73

Тема 10.Застосування похідної до дослідження функції.......................................85

II семестр

Змістовний модуль №3

Тема 1.Невизначений інтеграл, основні методи інтегрування............................ 100

Тема 2. Інтегрування дробово-раціональнихфункцій.......................................... 106

Тема 3. Інтегрування деяких класів функцій........................................................ 113

Тема 4. Диференціальні рівняння І-го і ІІ-го порядку. Задача Коші.................. 118

Змістовний модуль №4

Тема 5. Функції двох змінних................................................................................. 126

Тема 6. Екстремум функції двох змінних. Спосіб найменших квадратів.......... 140

Тема 7. Чилові та степеневі ряди........................................................................... 151

Література................................................................................................................ 160

Перший семестр Змістовний модуль №1 тема 1. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь і методи їх розв’язання

План

1. Постановка задачі.

2. Поняття визначника другого і третього порядків та їх обчислення.

3. Властивості визначників.

4. Поняття визначника n-го порядку.

5. Розв’язання системи рівнянь за теоремою Крамера.

6. Поняття матриці, види, дії з матрицями.

7. Обернена матриця та її побудова.

8. Розв’язання системи рівнянь за допомогою оберненої матриці (матричний спосіб).

9. Ранг матриці.

10. Теорема Кронекера – Капеллі.

11. Розв’язання системи методом Жордана – Гаусса.

1. Зі шкільного курсу ми знаємо, що при розв’язанні системи лінійних рівнянь можливо 3 варіанти:

1. Система має єдиний розв’язок;

2. Система має безліч розв’язків;

3. Система немає розв’язків.

П риклад 1.

2х – у = 0 х = 1

х + 3у = 7 у = 2 (1;2) – єдиний розв’язок

Приклад 2.

2х – у = 3 х = α

-4х + 2у = -6 у = 3 – 2α (α; 3 – 2α), α Є R – безліч розв’язків

Приклад 3.

2х – у = 3 2

-4х + 2у = 1 0 =/ 7 - немає розв’язків

Розглянемо систему n лінійних алгебраїчних рівнянь з m невідомими:

а ₁₁х₁+ а₁₂х₂+...+ а_1jх_j+…+a_1mx_m = b₁

а₂₁х₁+ а₂₂х₂+...+ а_2jх_j+…+a_2mx_m = b₂

а_i1х₁+ а_i2х₂+ ... + а_ijх_j+ …+a_imx_m = b_{i (1.1)}

а_n1х₁+ а_n2х₂+...+ а_njх_j+…+a_nmx_m = b_n,

х_j - невідомі,

а_ij – коефіцієнти при невідомих,

b_i –вільні члени.

i = 1, 2, ..., n = , j = .

Розв’язком системи називають упорядковану сукупність з m чисел, в результаті підстановки якої в систему замість невідомих кожне рівняння перетворюється в тотожність.

Системи, які мають принаймні один розв’язок називають сумісними.

В протилежному випадку – несумісними.

2. Визначником другого порядку називається число, яке позначається:

а₁₁ а₁₂

∆ ≡ і обчислюється за формулою

а₂₁ а₂₂

∆ = а₁₁* а₁₂ - а₁₁* а₁₂

Приклад 4.

1 -3 = 1*5 + 4*(-3) = 17

4 5

Визначником третього порядку називається число, яке позначається:

а₁₁ а₁₂ а₁₃

а₂₁ а₂₂ а₂₃ ≡ ∆

а₃₁ а₃₂ а₃₃

і обчислюється за формулою трикутника:

∆ = а₁₁* а₂₂* а₃₃ + а₁₂*а₂₃*а₃₁ + а₂₁*а₃₂*а₁₃ –

• а₃₁*а₂₂*а₁₃ – а₂₁*а₁₂*а₃₃ – а₃₂*а₂₃*а₁₁

Приклад 5.

3 -1 0

4 2 -2 = 3*2*1 + (-1)*(-2)*(-2) + 4*1*0 – (-2)*2*0 – 4*(-1)*1 – 1*(-2)*3 = 12

-2 1 1

Розглянемо ще 2 способи обчислення визначників третього порядку в основі яких лежать властивості:

1. Визначник не змінюється за величиною, якщо деякий його рядок (стовбець) помножити на число і додати до елементів іншого рядка (стовбця).

П риклад 6.

3 -1 0 (-2) 3 -1 0

4 2 -2 = -2 4 -2 = 12 + (-4) + 0 – 0 – 2 – (-6) = 12

-2 1 1 -2 1 1

2. Розклад визначника за елементами рядка (стовбця) за формулою:

∆ = а_i1*A_i1 + а_i2*A_i2 + а_i3*A_{i3 (1.2)}

i = 1,2,3

A_ij = (-1)^i+j * M_ij - алгебраїчні доповнення до елементів а_ij.

M_ij – мінор – це визначник, який отримується з даного в результаті викреслю-вання i-го рядка j-го стовпця.

Приклад 7.

M ₁₂ = 4 -2 = 4 – 4 = 0

-2 1

M ₃₂ = 3 0 = -6

4 -2

M₁₃ = 8

А₁₂ = (-1)¹⁺² * М₁₂ = - М₁₂ = 0

А₃₂ = (-1)³⁺² * М₃₂ = - М₃₂ = - (-6) = 6

А₂₂ = М₂₂ = 3

А₁₂ = 10

П риклад 8. Обчислимо визначник за формулою (1.2)

3 -1 0

4 2 -2 = 0*А₁₃ + (-2)*А₂₃ + 1*А₃₃ = 12

-2 1 1

Таким чином ми повинні знати 3 способи обчислення визначника третього порядку:

1. Формула трикутника;

2. Розклад визначника за елементами рядка (стовбця);

3. Попередньо утворивши нулі в рядку (стовбці) розкласти визначник за елементами рядка (стовбця).