1. Контрольные вопросы

2. Понятие определенного интеграла.

3. В чем заключается принцип двойного пересчета?

4. Геометрический смысл квадратурных формул?

5. Оценка точности квадратурных формул?

6. Вывод формул трапеций и прямоугольников.

7. Вывод формулû Симпсона.

1. Задания для самостоятельного выполнения

№ варианта	Найти значение интеграла с помощью формулы Ньютона-Лейбница
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

Глава V приближенные методы решений нелинейных уравнений с одним неизвестным

1. Теория

Поскольку подавляющее большинство нелинейных уравнений с одной переменной не решается путем аналитических преобразований (точными методами), на практике их решают только численными методами. Решить такое уравнение – это значит установить, имеет ли оно корни, сколько корней, и найти значения корней с заданной точностью. Задача численного нахождения действительных и комплексных корней уравнения обычно состоит из двух этапов: отделение корней, т.е. нахождение достаточно малых окрестностей рассматриваемой области, в которой содержится одно значение корня, и уточнение этих корней, т.е. вычисление корней с заданной точностью в некоторой окрестности.

Отделение корней

Если на отрезке функция непрерывна, имеет знакопостоянную производную и принимает на концах отрезка значения разных знаков, то внутри существует единственный корень уравнения ;

Бисекция

Пусть уравнение имеет на отрезке единственный корень, причем функция на этом отрезке непрерывна. Разделим отрезок пополам точкой . Если , то возможны два случая: либо меняет знак на отрезке , либо на отрезке . Выбираем в каждом случае тот из отрезков, на котором функция меняет знак, и продолжаем этот процесс до сколь угодно малого отрезка, содержащего корень уравнения;

Метод касательных

Пусть корень уравнения отделен на отрезке , и имеют разные знаки, производные и сохраняют знак на всем интервале и . Проведем касательную в точке . Для того чтобы точка пересечения касательной с осью OX лежала внутри отрезка , касательную надо проводить в точке, где знаки и второй производной одинаковы. Иными словами, для должно выполняться условие: . Новое значение приближенного корня вычисляем по формуле: , . Этот процесс продолжаем до тех пор, пока .

Метод хорд

Пусть мы нашли отрезок , на котором функция меняет свой знак. В данном методе процесс итераций состоит в том, что в качестве приближений к корню уравнения принимаются значения точек пересечения хорды с осью абсцисс. Каждое новое значение приближения корня находится по формуле . Выбираем тот отрезок, на котором функция меняет свой знак. Продолжаем этот процесс до тех пор, пока не достигнем нужной точности, т. е. .