3.2. Произведение ω -расслоенных классов Фиттинга.

Пусть . Тогда , .

Определение 59. Направление Ω-расслоенного класса Фиттинга называют:

1. -направлением, если для любой абелевой группы ;

2. -направлением, если для любой абелевой группы ;

3. -направлением, если для некоторой простой группы ;

4. -направлением, если для любой неабелевой группы ;

5. -направлением, если для любого .

-функцию называют -направлением Ω-расслоенного класса Фиттинга 𝔉, если является -направлением для любого .

Лемма 16. Пусть простая группа и 𝔉 – непустая формация Фиттинга такая, что 𝔉 = 𝔉. Если является -группой, то .

Доказательство.

Так как то по свойству корадикала Из по теореме 9 (о соответствии) имеем: . Поскольку нормально наследственный класс групп и , то . Тогда, по свойству корадикала, .

С другой стороны, , а по определению 55 Следовательно, .

Таким образом, .

Лемма 17. Пусть с -направлением . Тогда

1. если и , то ;

2. если и , то .

Доказательство.

1. . Пусть . По условию . Покажем, что

. Так как , то по лемме 11 (4) . Тогда , так как .

По условию . Пусть ). Покажем, что . Из следует, что .

По условию -направление. Значит, . Так как , то и тогда по лемме 16

. Следовательно, по определению расслоенного класса Фиттинга имеем: .

2. Из условия известно, что . Пусть , . Так как -группа и , то по лемме 16 . Из следует, что . Откуда: . Значит, по определению расслоенного класса Фиттинга .

Лемма 17. Пусть 𝔐 и ℌ - -классы Фиттинга с направлением внутренние спутники классов Фиттинга 𝔐 и ℌ соответственно. Если с спутником таким, что , для всех и для всех , то и является внутренним спутником класса Фиттинга .

Доказательство.

Пусть с спутником таким, что , для всех и для всех

. Покажем, что внутренний спутник класса Фиттинга .

Пусть . Допустим, что . Пусть и группа минимального порядка с таким свойством. Тогда по лемме 10 комонолитична с комонолитом . Пусть . Так как , то Значит, и . Если , то и . Тогда и Таким образом, по лемме 17 2) . Имеем противоречие. Поэтому . Из того, что , следует, по определению 57 радикального произведения, что . Пусть . Тогда (

и, значит, .

Пусть . Тогда и . В любом случае имеем: , . Значит, по лемме 17 1) . Противоречие. Значит, .

По теореме 10 . Так как внутренний спутник , то и .

Таким образом, мы показали, что внутренний спутник класса Фиттинга

Определение 60. Класс Фиттинга называется каноническим или, коротко, классом Фиттинга, если для любого , и обозначается и для всех .

Лемма 18. Пусть внутренние спутники классов Фиттинга соответственно. Тогда является классом Фиттинга с внутренним спутником таким, что . для всех и для всех .

Доказательство.

Пусть . Тогда по лемме 17 . Допустим, что . Пусть и группа наименьшего порядка с таким свойством. Тогда по лемме 10 комонолитическая группа с комонолитом .

Пусть . Тогда Так как

, то и, значит, . Из следует, что . Допустим, что . Тогда

и по лемме 17 имеем: . Получили противоречие. Следовательно, . Тогда и, значит, Из и , следует, что и Тогда и комонолитическая группа с комонолитом , причем Из следует, что и, значит, .

Так как , то по лемме 17 . Тогда = . Снова получили противоречие.

Следовательно, .

Определение 61. Класс Фиттинга называется биканоническим или, коротко, классом Фиттинга, если для любой неабелевой группы и для любой абелевой группы , и обозначается и

для всех и для всех .

Лемма 19. Пусть внутренние спутники классов Фиттинга соответственно. Тогда является классом Фиттинга с внутренним спутником таким, что для всех , для всех и для всех .

Доказательство.

Пусть .

Так как для любого , то для любого .

Так как для любого . В свою очередь, для любого , что показывает, что -направление.

По лемме 18 , где для всех

, , для всех .

Так как внутренний спутник , то для любого . Пусть . Тогда . Это означает, что

.

Если , то .

Если , то .

Если неабелева и , то .

Если неабелева и , то .

Таким образом, . Это значит, что и .

Допустим, что и и группа минимального порядка с таким свойством. Тогда по лемме 10 комонолитична с комонолитом

.

Пусть . Тогда и . Значит, .

Допустим, что . Так как , то . Получили противоречие. Следовательно, .

В случае, если , имеем: . Из следует, что . Тогда .

Так как и , то Поэтому, в свою очередь, и . Следовательно, комонолитична с комонолитом , причем .

Из следует, что и .

Так как . Тогда по лемме 17 . А это означает, что . Противоречие.

В случае же, если , имеем: . Так как , то по лемме 17 получим: . Противоречие.

Значит, допущение неверно, и .

28