
- •Введение.
- •Из всегда следует, что
- •Глава 1. Определения, обозначения и известные результаты, используемые в работе.
- •Элементы теории групп.
- •Элементы теории классов групп.
- •Глава 2. Классы Фиттинга конечных групп.
- •2.1. Классы Фиттинга и их основные свойства.
- •Из всегда следует, что (1)
- •Из всегда следует, что
- •2.2. Произведение классов Фиттинга.
- •Глава 3. Произведение 𝛀 - расслоенных классов Фиттинга.
- •3.2. Произведение ω -расслоенных классов Фиттинга.
2.2. Произведение классов Фиттинга.
Определение
55.
Пусть
и
произвольные
классы групп. Гашюцевым
произведением
классов
и
называется класс всех групп, являющихся
расширением некоторой
группы
с помощью
группы.
Обозначается:
или
.
Определение
56.
Пусть
класс
групп,
формация.
Корадикальным
(формационным) произведением
классов групп
и
называется класс групп
Определение
57.
Пусть
класс
Фиттинга и
класс
групп. Радикальным
произведением
и
называется класс
.
Теорема
10.
Если
и
классы
Фиттинга, то
класс
Фиттинга и
.
Доказательство.
Покажем, что класс Фиттинга.
Пусть
и . Покажем, что
. Поскольку , то
. Из по лемме 9 получаем:
.
Так как
,
то по теореме о соответствии получаем:
.
По условию
,
класс
Фиттинга, значит,
.
Тогда
.
Следовательно,
.
Пусть
. Покажем, что . Из
следует:
. Так как , то
. Значит,
. Аналогичным образом получается, что
и
.
Рассмотрим
.
Следовательно,
.
Из 1) и 2) получаем, что класс Фиттинга.
Покажем, что .
Пусть
.
Покажем, что
.
Так как
,
то
.
Следовательно,
.
Значит,
и
.
Теорема 11. Пусть 𝔛, 𝔉 и классы Фиттинга. Тогда
;
.
Доказательство.
По теореме 10 класс Фиттинга, . Значит,
.
Так как
,
то
.
Следовательно, по теореме о соответствии
получим:
и
.
Покажем
обратное включение. Пусть
.
Так как
,
то
.
Но
в силу того, что
,
,
а значит,
.
Из обоих включений получаем, что
.
Так
как
,
то
.
Следовательно,
.
Поэтому
.
Тогда по теореме о соответствии
,
откуда следует, что
.
Таким образом, .
Пусть
. Тогда
. Значит,
.
Следовательно,
и
.
Тогда
.
Покажем обратное включение.
Пусть
.
Тогда
.
Так как
и
по первому пункту теоремы получаем:
Значит,
.
Теорема 12. Если класс Фиттинга и гомоморф, то
.
Доказательство.
Из определения радикального произведения следует, что
,
то есть радикальное произведение
состоит из таких групп
,
что
и
.
Следовательно,
.
Покажем обратное. Пусть
.
Рассмотрим факторгруппу
.
Так как
гомоморф,
то
.
Откуда следует, что
.
Глава 3. Произведение 𝛀 - расслоенных классов Фиттинга.
3.1. 𝛀 - расслоенные классы Фиттинга и их основные свойства.
Лемма
10.
Пусть
группа
минимального порядка из
,
где
и
классы
Фиттинга. Следовательно,
комонолитична с комонолитом
.
Доказательство.
Пусть
две
различные максимальные нормальные
подгруппы группы
из
.
Так как
и
,
класс
Фиттинга, то
.
Аналогично получается, что
.
Значит,
.
Так
как
,
то
.
Поскольку
,
имеем:
.
Аналогично получается, что
.
Из этого можно сделать вывод о том, что
.
Допустим,
что
.
Из
следует, что
.
А это значит, что
.
Поэтому имеем:
.
Аналогично: из
следует, что
.
В связи с чем получаем:
.
Таким образом, имеем:
.
Противоречие. Значит,
и
.
Снова имеем противоречие. Следовательно,
содержит единственную максимальную
нормальную подгруппу.
Пусть
комонолит
группы
.
Покажем, что
Пусть
все
нормальные
подгруппы
группы
.
Из того, что
максимальная
нормальная подгруппа, получаем:
. И из
имеем:
.
Допустим,
что
.
Тогда из
получаем:
.
Противоречие. Значит,
.
Через
обозначают множество всех простых
групп, изоморфных композиционным
факторам группы
.
Если
,
то
называется
-группой.
множество
всех
-групп.
.
Лемма
11. Пусть
и
– формации,
- классы Фиттинга,
– группа и
.
Тогда
если
, то
;
;
;
, то
;
;
Определение
54.
Пусть
множество
всех простых групп.
.
Функцию
,
принимающую одинаковые значения на
изоморфных группах из Ω,
называют Ω-
радикальной
функцией или
-функцией.
Функцию
,
принимающую одинаковые значения на
изоморфных группах из
,
называют радикальной
функцией или -функцией.
Функцию
,
принимающую одинаковые значения на
изоморфных группах из
,
называют формационно-радикальной
функцией или
-функцией.
Лемма
12.
Пусть
-
-функция,
φ
-
-функция,
.
Тогда
является классом Фиттинга.
Определение
58.
Класс Фиттинга
назовем
-расслоенным,
если
,
где
- некоторые
-функция
и
-функция
соответственно. Функцию
будем называть
-спутником,
а функцию
-направлением
-расслоенного
класса Фиттинга
.
Пусть
-
-функция.
Класс Фиттинга
назовем расслоенным,
а
будем называть
-спутником
расслоенного класса Фиттинга
.
Лемма
13.
Пусть
- класс Фиттинга и
.
Тогда
где
-
-функция
такая, что
,
для
всех
,
и
-
произвольная
-функция. В частности, классы Фиттинга
и (1) являются
-расслоенными
для любого непустого класса
.
Доказательство.
Пусть
,
где
-
-функция
такая, что
,
для
всех
,
и
-
произвольная
-функция. Покажем, что
.
Пусть
.
Тогда
,
и из
следует, что
.
Таким образом,
,
и, значит,
.
Предположим,
что
и
группа
наименьшего порядка из
.
Тогда
.
Следовательно,
и
.
Пусть
и
собственные
нормальные подгруппы группы
такие, что
.
Так как
,
то в силу выбора
,
получим, что
,
и значит,
.
Получили противоречие. Следовательно,
комонолитическая
группа с комонолитом
.
Тогда
и
простая
группа. Если
,
то
,
что невозможно. Поэтому
.
Тогда
.
Противоречие. Таким образом,
.
Лемма
14.
Пусть
,
где
произвольная
-функция.
Тогда справедливы следующие утверждения:
, где
для любого
;
,где
и
для всех ;
если
и
, то
.
Доказательство.
Пусть
, где
-функция из пункта 1) леммы. Так
как
для любого
,
то
.
Пусть
.
Тогда
для любого
.
Поскольку класс
является нормально наследственным, то
,
и значит,
и
для
любого
.
Следовательно,
и
.
Таким образом, мы получаем, что
.
Пусть
-функция, описанная в пункте 2) леммы и ℌ=
. Покажем, что
. Пусть . Это означает, что
и для всех имеем:
. Следовательно,
и
.
Допустим,
что
и
группа
наименьшего порядка из
.
Тогда по лемме 10 группа
комонолитична с комонолитом
.
Так как
,
то
.
Следовательно,
.
Откуда получаем, что
.
Из
следует, что
и
.
Так как
,
то
.
Отсюда в силу нормальной наследственности
класса
получаем:
.
Далее из
следует, что
для любого
.
Значит,
.
Получили противоречие. Следовательно,
допущение неверно и
.
Пусть , и . Если , то
по
определению класса
.
Пусть
.
Так как
,
то найдется такая группа
,
что
.
Откуда следует, что
,
и значит,
.
Поскольку
,
то
,
и поэтому
.
Таким
образом,
.
Лемма
15.
Пусть
произвольная
-функция,
,
где
,
.
Тогда
,
где
.
Доказательство.
Пусть ℌ= . Покажем, что .
Пусть
.
Это означает, что
и
.
Следовательно,
.
Так как
,
то
Значит,
и
.
Пусть
.
Следовательно,
и
.
Отсюда получаем, что
и
.
Следовательно,
и
.
Таким образом, имеем:
,
и значит,
.