Раздел 3. Исследование сау без корректирующего звена

3.1 Исследование сау по критерию Гурвица

Критерий А. Гурвица является достаточным условием для определения устойчивости системы с отрицательной обратной связью и работает с коэффициентами характеристического полинома системы. Для определения устойчивости по Гурвицу строится матрица Гурвица, состоящая из коэффициентов характеристического полинома замкнутой системы.

По главной диагонали матрицы от верхнего левого угла записываются по порядку все коэффициенты характеристического полинома замкнутой системы, начиная с d₁ и заканчивая d_n. Затем каждый столбец матрицы дополняется таким образом, чтобы вниз от диагонали номер индекса коэффициента d уменьшался, а вверх – увеличивался. Коэффициенты с индексами меньше 0 и больше, чем n заменяются нулями.

. (3.1)

Формулировка критерия Гурвица:

Для устойчивой замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы все n главных диагональных миноров матрицы были положительны:

; и т.д. (3.2)

Если хотя бы один определитель будет равен нулю, то система будет находится на границе устойчивости. Если хотя бы один определитель будет отрицателен, то система неустойчива, не зависимо от числа положительных или нулевых определителей.

Для исследования устойчивости замкнутой САУ по критерию устойчивости Гурвица понадобится характеристический полином замкнутой системы.

Передаточная функция прямой ветви системы:

; (3.3)

. (3.4)

Передаточная функция обратной связи системы:

. (3.5)

Получим эквивалентную передаточную функцию прямой ветви системы, охваченную обратной связью или передаточную функцию замкнутой системы:

; (3.6)

. (3.7)

Тогда характеристический полином такой замкнутой системы D_ЗАМ(p):

. (3.8)

Подставим численные значения коэффициентов и преобразуем выражение:

. (3.9)

Поскольку степень полинома замкнутой системы n равна 3, то матрица Гурвица будет иметь размер 3х3.

Коэффициенты характеристического полинома замкнутой системы имеют следующие значения: d₀ = 0,00105, d₁ = 0,03525, d₂ = 0,35, d₃ = 3,34.

Матрица Гурвица имеет вид:

. (3.18)

Диагональные миноры матрицы Гурвица:

Δ₁ = 0,03525 > 0;

;

.

Вывод: замкнутая система устойчива, так как не имеет отрицательных миноров.

3.2 Исследование сау по критерию Михайлова

Частотные критерии, по сравнению с алгебраическими, являются более наглядным в силу своей простой геометрической интерпретации т.к. они являются графическими критериями.

Критерий А. В. Михайлова используется по частотному годографу, полученному из характеристического полинома передаточной функции системы.

Частотный годограф D_З(j) получается путем перевода характеристического полинома замкнутой системы в частотную область, для этого вместо оператора дифференцирования p подставляется частотная комплексная переменная j, где – мнимая единица.

При возведении выражения j в соответствующую степень, полином замкнутой системы является комплексным и может быть представлен в виде:

; (3.19)

где U_D() – действительная часть выражения, получаемая из слагаемых уравнения, не содержащих мнимости j; V_D() – мнимая часть, получаемая из слагаемых выражения, содержащих мнимости j.

Построение годографа Михайлова производится на комплексной плоскости [+1; j] по выражению D_З(j) (3.19) При изменении часты  от 0 до  вычисляются значения U_D() и V_D() – абсцисса и ордината годографа.

Формулировка критерия Михайлова

Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова начинался на положительной действительной полуоси комплексной плоскости [+1; j] и огибал против часовой стрелки начало координат, проходя последовательно n квадрантов, где n – старший показатель степени характеристического полинома замкнутой системы.

В пункте 3.1 был получен характеристический полином такой замкнутой системы D_ЗАМ(p):

. (3.20)

Тогда получим частотный годограф Михайлова путем перевода характеристического полинома замкнутой системы (3.20) в частотную область:

. (3.21)

Получим действительную и мнимую часть частотного годографа Михайлова (3.21), возведя частотный оператор j в соответствующую степень:

. (3.22)

; (3.23)

. (3.24)

Вычисляем значения действительной и мнимой части частотного годографа Михайлова при изменении часты  от 0 до требуемого значения, при котором можно сделать вывод об устойчивости системы. Шаг изменения частоты  принимаем произвольный с учетом удобства восприятия графика. Вычисления проводим в MS Excel.

Таблица 3.1

Значения действительной и мнимой части частотного годографа Михайлова

Частота сигнала 	Действительная часть UD()	Мнимая часть VD()
0	3,34	0
1	3,30475	0,34895
2	3,199	0,6916
3	3,02275	1,02165
4	2,776	1,3328
5	2,45875	1,61875
6	2,071	1,8732
7	1,61275	2,08985
8	1,084	2,2624
9	0,48475	2,38455
10	-0,185	2,45
11	-0,92525	2,45245
12	-1,736	2,3856
13	-2,61725	2,24315
14	-3,569	2,0188
15	-4,59125	1,70625
16	-5,684	1,2992
17	-6,84725	0,79135
18	-8,081	0,1764
19	-9,38525	-0,55195

По таблице 3.1 строим годограф Михайлова (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Годограф Михайлова

Вывод: замкнутая система устойчива, т.к. годограф Михайлова начинается на положительной действительной полуоси и огибает против часовой стрелки начало координат, проходя последовательно 3 квадранта, где 3 – порядок характеристического уравнения.